This paper considers the well-known Erdös–Lax and Turán-type inequalities that relate the sup-norm of a univariate complex coefficient polynomial and its derivative, when there is a restriction on its zeros. The obtained results produce inequalities that are sharper than the previous ones. Moreover, a numerical example is presented, showing that in some situations, the bounds obtained by our results can be considerably sharper than the ones previously known.

Recently Milovanovic et al. [Bulletin T.CLIII de l?Aca?mie serbe des sciences et des arts - 2020.] proved that if P(z) ? Pn with no zeros in |z| < k, k ? 1, then, |P?(z)| ? ?P?/2 [n ? {n(k ? 1/k + 1) + 2/k + 1 (|c0| ? kn|cn|/|c0| + kn|cn|)} |P(z)|2 ?P?2], |z| = 1, where P(z) = c0 + c1z + ... + cnzn ? Pn is a polynomial of degree n. In this paper, we obtain some results concerning the class of polynomials having s?fold zero at origin. These results not only generalizes but also refines many well-known results due to Milovanovic.

Недавно доказанное обобщение теоремы Энестрёма -Какейя, Н. А. Ратера и др. применимо к более широкому классу полиномов по сравнению со всеми другими результатами типа Энестрёма -Какейя, но оно неприменимо к полиномам, у которых один или два коэффициента равны нулю. Например, если рассматривать полином, у которого один или два коэффициента равны нулю, то можно заметить, что все результаты типа Энестрёма -Какейя, включая недавние обобщения Н. А. Ратера и др., неприменимы к такому полиному. Поэтому было интересно попытаться решить задачу для таких полиномов, что и было мотивацией авторов. В статье получены результаты, применимые к классу полиномов, называемому полиномами лакунарного типа. В настоящей работе, ослабляя условие известной теоремы Энестрёма -Какейя, мы исследуем полиномы лакунарного типа, получая обобщение для некоторых известных результатов о расположение нулей многочленов. В дополнение к этому на примерах показано, что полученные оценки дают лучшую информацию о границах нулей многочленов, чем некоторые, ранее опубликованные полученные результаты.

Let P(z) be a complex polynomial of degree n having all its zeros in |z| ≤ 1. Then the Sendov’s Conjecture states that there is always a critical point of P(z) in |z − a| ≤ 1, where a is any zero of P(z). In this paper, we verify the Sendov’s Conjecture for some special cases. The case where a is the root of pth smallest modulus is also investigated.

No abstract