No abstract

No abstract

In three-dimensional Euclidean space, we study the problem of the existence of an infinitesimal first-order deformation of single-connected regular surfaces with a predetermined change in the Ricci tensor. It is shown that for surfaces of nonzero Gaussian curvature, this problem is reduced to the study and solution of a system of seven equations (including differential equations) with respect to seven unknown functions, each solution of which determines a vector field that is a univariate function (with an accuracy of a constant vector) and can be interpreted as a moment-free stress state of equilibrium of a loaded shell. For regular surfaces of non-zero Gaussian and mean curvatures, the problem is reduced to finding solutions to one second-order partial differential equation with respect to two unknown functions. Given one of these functions, the resulting equation will in general be a nonhomogeneous second-order partial differential equation (nonhomogeneous Weingarten differential equation). It is proved that any regular surface of positive Gaussian and non-zero mean curvature admits an infinitesimal first-order deformation with a given change in the Ricci tensor in a sufficiently small region. In this case, the tensor fields will be represented by an arbitrary and predefined regular function. By considering the Neumann problem, it is shown that a single-connected regular surface of elliptic type of positive Gaussian and negative mean curvature with a regular boundary under a certain boundary condition admits, in general, an infinitesimal first-order deformation with a predetermined change in the Ricci tensor. In this case, the tensor fields will be determined uniquely. For surfaces of negative Gaussian and non-zero mean curvature, the resulting inhomogeneous partial differential equation with second-order partial differentials will be of hyperbolic type with known coefficients and right-hand side. The Darboux problem is considered for this equation. It is proved that any regular surface of negative Gaussian and non-zero mean curvature admits an infinitesimal first-order deformation with a given change in the Ricci tensor. Tensor fields are expressed through a given function of two variables and through two arbitrary regular functions of one variable. Keywords: infinitesimal deformation, Ricci tensor, tensor fields, Gaussian curvature, mean curvature.

In this paper, we consider infinitesimal (n. m.) first-order deformations of single-connected regular surfaces in three-dimensional Euclidean space. The search for the vector field of this deformation is generally reduced to the study and solution of a system of four equations (among them there are differential equations) with respect to seven unknown functions. To avoid uncertainty, the following restriction is imposed on a given surface: the Ricci tensor is stored (mainly) on the surface. A mathematical model of the problem is created: a system of seven equations with respect to seven unknown functions. Its mechanical content is established. It is shown that each solution of the obtained system of equations will determine the field of displacement n. m. deformation of the first order of the surface of nonzero Gaussian curvature, which will be an unambiguous function (up to a constant vector). It is proved that each regular surface of nonzero Gaussian and mean curvatures allows first-order n. m. deformation with a stationary Ricci tensor. The tensor fields are found explicitly and depend on two functions, which are the solution of a linear inhomogeneous second-order differential equation with partial derivatives. The class of rigid surfaces in relation to the specified n. m. deformations. Assuming that one of the functions is predetermined, the obtained differential equation in the General case will be a inhomogeneous differential Weingarten equation, and an equation of elliptical type. The geometric and mechanical meaning of the function that is the solution of this equation is found. The following result was obtained: any surface of positive Gaussian and nonzero mean curvatures admits n. m of first-order deformation with a stationary Ricci tensor in the region of a rather small degree. Tensor fields will be represented by a predefined function and some arbitrary regular functions. Considering the Dirichlet problem, it is proved that the simply connected regular surface of a positive Gaussian and nonzero mean curvatures under a certain boundary condition admits a single first-order deformation with a stationary Ricci tensor. The strain tensors are uniquely defined.

У даній роботі у тривимірному евклідовому просторі E3 розглядаються загальні нескінченно малі (н.м.) деформації вищих порядків однозв'язних поверхонь, які мають важливе значення при вивченні їх неперервних деформацій. Завдання знаходження векторів зсуву цих деформацій зводиться до дослідження і розв'язку системи n рівнянь (або основних рівнянь) загальних н. м. деформацій скінченого порядку n, які отримані відносно довільно обраної на поверхні системи координат. Показано, що для замкнутих поверхонь додатньої гаусової кривини математичною моделлю цього завдання в сполучено-ізотермічній системі координат буде система n неоднорідних рівнянь комплексного виду, яка у випадку овалоїда приводиться до системи n інтегральних рівнянь. Використовуючи тензорні методи, апарат теорії узагальнених аналітичних функцій і методи функціонального аналізу, доведено, що регулярний овалоїд в E3 «в цілому» допускає загальну н.м. деформацію скінченого порядку n, яка однозначно визначається заздалегідь заданими 3n функціями. Знайдений їх геометричний зміст: завдання їх рівносильно завданням значень варіацій орта нормалі і елемента площі до порядку n включно. Векторні поля деформації при цьому визначаються з точністю до постійних векторів. Встановлено, що овалоїд буде жорстким щодо загальних н.м. деформацій скінченого порядку n тоді і тільки тоді, коли всі значення варіацій орта нормалі і елемента площі до порядку n включно тотожно рівні нулю. В якості прикладу поверхні, яка підтверджує отриманий результат, розглянута сфера радіуса R. Вектори зміщень при цьому знайдені в явному вигляді.