The paper presents new exact solutions of equations derived earlier. Three of them describe unsteady motions of a polymer solution near the stagnation point. A class of partially invariant solutions with a wide functional arbitrariness is found. An invariant solution of the stationary problem in which the solid boundary is a logarithmic curve is constructed.

Deformation of the free vertical liquid film by combined effect of gravity and thermocapillary forces is investigated. The system of equations connecting the flow rate, the film thickness and its temperature is found in the framework of thin-layer approximation. Using the shooting method, one-dimensional stationary problem is solved numerically for values of contact angle close to a right angle. The existence of a film having the constant thickness is found. It is shown that this solution is stable when the gravity is low. Using numerical continuation method, value of the gravity for which this solution becomes unstable is found.

No abstract

Рассматривается равновесие вязкой жидкости, которая частично заполняет цилиндрическую полость конечной длины, вращающуюся с постоянной угловой скоростью. Предполагается, что поле тяжести отсутствует. При краевом угле, равном π/2, наблюдается такая форма равновесия, когда свободная поверхность также является цилиндрической,тривиальная форма равновесия. Существуют значения числа Вебера (бифуркационные значения), при которых от тривиальной формы равновесия ответвляются нетривиальные формы. Численно построены графики осесимметричных равновесных форм жидкости. Показано, что при увеличении значения числа Вебера нетривиальные формы все больше отклоняются от цилиндрического равновесного состояния. С дальнейшим ростом величины числа Вебера меняется топология равновесных форм, так как они касаются или стенки полости (при малой толщине слоя), или ее оси (при большой толщине). Равновесные состояния исследованы на устойчивость на основе принципа минимума потенциальной энергии. Цилиндрическое состояние неустойчиво при числах Вебера, меньших бифуркационного значения, и при его незначительном превышении. Найдено значение числа Вебера, при котором тривиальная форма равновесия становится устойчивой. Нетривиальные равновесные формы неустойчивы при всех допустимых значениях числа Вебера.Ключевые слова: вращение, цилиндрический слой, свободная поверхность, число Вебера, устойчивостьThe problem of the viscous liquid, partially filling the cylindrical cavity of a finite length, which rotates with a constant angular velocity, is considered (the rimming flow). It is assumed that the gravity force is absent. If the wetting angle is equal to π/2, equilibrium forms with cylindrical free surface exist (trivial forms of equilibrium). There exist values of the Weber number (bifurcation values) at which the nontrivial forms branch off from the trivial form of equilibrium. Graphics of the axisymmetric equilibrium forms of the liquid are constructed numerically. With the Weber number growth, the nontrivial forms increasingly deviate from the cylindrical equilibrium state. With a further increase in the values of the Weber number the topology of equilibrium forms changes, as the form contacts the cavity wall (when the liquid layer is thin) or its axis (when the liquid layer is thick).The stability of equilibrium states is investigated using Lagrange's stability theorem and its converse. The cylindrical state is unstable when the values of the Weber numbers are less than the bifurcation value or slightly exceed the bifurcation value. The value of the Weber number, for which the trivial form of equilibrium becomes stable, is obtained. Nontrivial forms of equilibrium are unstable for all admissible values of the Weber number.