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We explicitly realize an internal action of the symplectic cactus group, originally defined by Halacheva for any finite dimensional complex reductive Lie algebra, on crystals of Kashiwara-Nakashima tableaux. Our methods include a symplectic version of jeu de taquin due to Sheats and Lecouvey, symplectic reversal, and virtualization due to Baker. As an application, we define and study a symplectic version of the Berenstein-Kirillov group and show that it is a quotient of the symplectic cactus group.

International audience Pak and Vallejo have defined fundamental symmetry map as any Young tableau bijection for the commutativity of the Littlewood-Richardson coefficients $c_{\mu,\nu}^{\lambda}=c_{\nu, \mu}^{\lambda}$. They have considered four fundamental symmetry maps and conjectured that they are all equivalent (2004). The three first ones are based on standard operations in Young tableau theory and, in this case, the conjecture was proved by Danilov and Koshevoy (2005). The fourth fundamental symmetry, given by the author in (1999;2000) and reformulated by Pak and Vallejo, is defined by nonstandard operations in Young tableau theory and will be shown to be equivalent to the first one defined by the involution property of the Benkart-Sottile-Stroomer tableau switching. The proof of this equivalence provides, in the case the first tableau is Yamanouchi, a variation of the tableau switching algorithm which shows $\textit{switching}$ as an operation that takes two tableaux sharing a common border and moves them trough each other by decomposing the first tableau into a sequence of tableaux whose sequence of partition shapes defines a Gelfand-Tsetlin pattern. This property leads to a $\textit{jeu de taquin-chain sliding}$ on Littlewood-Richardson tableaux. Pak et Vallejo ont défini la transformation de la symétrie fondamentale comme une bijection de tableaux de Young pour la comutativité des coefficients de Littlewood-Richardson $c_{\mu,\nu}^{\lambda}=c_{\nu, \mu}^{\lambda}$. Ils ont considéré quatre bijections fondamentaux et ont conjecturé qu’elles sont équivalentes (2004). Les trois premières sont basées sur des opérations standard de la théorie des tableaux de Young et, dans ce cas, la conjecture a été confirmée par Danilov et Koshevoy (2005). La quatrième symétrie fondamentale, donnée par l’auteur (1999;2000) et reformulée par Pak et Vallejo, est définie par des opérations $\textit{nonstandard}$ dans la théorie des tableaux de Young. Cette bijection sera montrée équivalente à la première définie pour la propriété involutoire du $\textit{tableau switching}$ de Benkart-Sottile-Stroomer. La preuve de cette équivalence, dans le cas le premier tableau est de Yamanouchi, donne une variation du algorithme de $\textit{tableau switching}$ qui montre $\textit{switching}$ comme une opération qui prendre deux tableaux avec une même borde et meut un à travers de l’autre en décomposant le premier dans une séquence de tableaux dont la séquence des partitions des formats définit une diagramme de Gelfand-Tsetlin. Cette propriété conduit à un algorithme du type $\textit{jeu de taquin-glissements sur chaînes}$ pour les tableaux de Littlewood-Richardson.