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482 O. Sz~sz. ~ber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate yon Potenzen. Yon OTTO SzXsz in Frankfurt a. M. Einleitung. Der folgende Satz riihrt bekanntlich yon Weierstra$ her: ,,Jede in einem abgeschlossenen endlichen Intervalle (a, b)*) stetige Funktion f(x) kann in diesem Intervall dutch Polynome mi~ beliebiger Ann~herung gleichm~Big approximiert werdenY Man driickt dies aus, indem man sagt, dab die Funktionenfolge: 1~ x, xS~ ...~ x~ ... eine Basis aller ste~igen Funktionen im Intervalle (a, b) ist. Beschr~inken wit uns zuniichs~ auf das Intervall (0, 1); meines Wissens hat sich zuerst Herr S. Bernstein**) mit der Frage besch~ftigr warm eine Folge yon ~ositiven Potenzen XP~ ~P~ XP2~. . .~ XP~. .. eine Basis aller stetigen Funklionen im Intervall (0, 1) bildet. Er gab hierfiir einerseits hinreichende, andererseits no~wendige Bedingungen, die ihn zu der Frage fiihrten, ob nich~ die Divergenz der Reihe ~1 eine sowohl not~vendige, wie auch hinreiehende Bedingung darstellt.***) Erst Herrn *) Das heist: a

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