According to a theorem of Brieskorn and Slodowy, the intersection of the nilpotent cone of a simple Lie algebra with a transverse slice to the subregular nilpotent orbit is a simple surface singularity. At the opposite extremity of the poset of nilpotent orbits, the closure of the minimal nilpotent orbit is also an isolated symplectic singularity, called a minimal singularity. For classical Lie algebras, Kraft and Procesi showed that these two types of singularities suffice to describe all generic singularities of nilpotent orbit closures: specifically, any such singularity is either a simple surface singularity, a minimal singularity, or a union of two simple surface singularities of type A 2k−1 . In the present paper, we complete the picture by determining the generic singularities of all nilpotent orbit closures in exceptional Lie algebras (up to normalization in a few cases). We summarize the results in some graphs at the end of the paper.In most cases, we also obtain simple surface singularities or minimal singularities, though often with more complicated branching than occurs in the classical types. There are, however, six singularities that do not occur in the classical types. Three of these are unibranch non-normal singularities: an SL 2 (C)-variety whose normalization is A 2 , an Sp 4 (C)-variety whose normalization is A 4 , and a two-dimensional variety whose normalization is the simple surface singularity A 3 . In addition, there are three 4-dimensional isolated singularities each appearing once. We also study an intrinsic symmetry action on the singularities, extending Slodowy's work for the singularity of the nilpotent cone at a point in the subregular orbit.

No abstract

Let G be a reductive group over a field k of characteristic = 2, let g = Lie(G), let θ be an involutive automorphism of G and let g = k⊕p be the associated symmetric space decomposition. For the case of a ground field of characteristic zero, the action of the isotropy group G θ on p is well understood, since the well-known paper of Kostant and Rallis [17]. Such a theory in positive characteristic has proved more difficult to develop. Here we use an approach based on some tools from geometric invariant theory to establish corresponding results in (good) positive characteristic.Among other results, we prove that the variety N of nilpotent elements of p has a dense open orbit, and that the same is true for every fibre of the quotient map p → p/ /G θ . However, we show that the corresponding statement for G, conjectured by Richardson, is not true. We provide a new, (mostly) calculation-free proof of the number of irreducible components of N , extending a result of Sekiguchi for k = C. Finally, we apply a theorem of Skryabin to describe the infinitesimal invariants k[p] k . morphism π : P → P/ /K is false; finally, we apply a theorem of Skryabin to describe the ring k[p] K i , where K i is the i-th Frobenius kernel of K.A torus A in G is θ-split if θ(a) = a −1 for all a ∈ A. It was proved by Vust that the set of maximal θ-split tori are K-conjugate. Let a be a toral algebra contained in p. If a is maximal such, then by abuse of terminology we say that a is a maximal torus of p.Lemma 0.1. Let a be a maximal torus of p. Then z g (a) ∩ p = a, and there exists a unique maximal θ-split torus A of G such that Lie(A) = a.

Esquisse d'une théorie de la multiplication des variables aléatoires Annales scientifiques de l'É.N.S. 3 e série, tome 76, n o 1 (1959), p. 59-82 © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1959, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ (1) F(.r-o)=^ dF,(u)d¥,(^) tU'^.TI.' et (2) F(;f+o)-F(.r-o):= ^ btci, l/l,Vi=X D'autre part, en introduisant les fonctions caractéristiques F*(^), F^(r) et F^?), c'est-à-dire les transformées de Fourier-Stieltjes de F(o-), Fi(^) et F^(^), on a (3) ^(t)=f ^^t)dV^)=r ¥:(ut)d¥,(u). Ces trois formules sont valables dans tous les cas, et, si les discontinuités de MULTIPLICATION DES VARIABLES ALÉATOIRES.

Systèmes markoviens et stationnaires. Cas dénombrable Annales scientifiques de l'É.N.S. 3 e série, tome 68 (1951), p. 327-381 © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1951, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Ann. Éc. Norm., (3), LXVIIL-FASC. 4. q0 328 P. LÉVY. Dans tout ce travail, nous avons cherché à dépasser aussi vite que possible le point de vue de Bernoulli, c'est-à-dire celui de l'étude des probabilités de passage, pour arriver à l'étude des propriétés probables ou presque sûres de la fonction aléatoire H(^) ou, dans le cas des chaînes, de la suite {H^}. Certaines de ces propriétés ont déjà été considérées par A. KolmogorofF, W. Doeblin, et J. L. Doob. Mais nous adoptons plus systématiquement le point de vue indiqué et montrons que, dans certains cas, la démonstration la plus simple d'une propriété des probabilités de .passage repose sur la loi forte des grands nombres. Bien entendu, il ne s'agit pas de contester qu'il soit logique de définir d'abord les probabilités de passage et que la manière naturelle de formuler analytiquement notre problème repose sur leur introduction. Le chapitre 1 est consacré aux chaînes de Markoff(cas du paramètre discontinu). C'est surtout un rappel de résultats connus de A. Kolmogoroff et W. Doeblin; il y a cependant quelques remarques nouvelles, utiles pour la suite. SYSTÈMES MARKOVIENS ET STATIONNAIRES. 33 2 NOTATIONS; NOTIONS GÉNÉRALES COMMUNES AU CAS DES CHAINES ET AU CAS CONTINU-.Le système étudié sera désigné par ^ s'il y a un nombre fini.d'é^s possibles et par ^ s'il y en a une infinité dénombrable. Les différents e a seront designés par A/, A.. . ., les indices étant supposés entiers. Pour de exemples particuliers, il pourra être commode de les faire varier de .ère> a infini, ou de-ce à + oo, ou même de considérer des systèmes de deux indices. Pour la théorie générale, leur nombre importe seul Le résultat des expériences s'exprime, dans le cas des chaînes, par une suite 1-di^dp^^. a(ls. le cas continu? par une fonction H^ é g ale à l'instant .à 1 indice de 1 état réalisé à cet instant. La loi de l'évolution ou loi du processus stochastique, supposé markovien et stationnaire est bien définie ^probabUités de pesage. Dans le cas contenu nous les désignerons par ^uiniu P^(t)=Pr{H(t,_,=k/H(t,)-^h[ (t=.t,,-t^). Ces fonctions doivent vérifier les conditions bien connues