A characterization for spatial Pythagorean-hodograph (PH) curves of degree 7 with rotation-minimizing Euler-Rodrigues frames (ERFs) is determined, in terms of one real and two complex constraints on the curve coefficients. These curves can interpolate initial/final positions p i and p f and orientational frames (t i , u i , v i) and (t f , u f , v f) so as to define a rational rotation-minimizing rigid body motion. Two residual free parameters, that determine the magnitudes of the end derivatives, are available for optimizing shape properties of the interpolant. This improves upon existing algorithms for quintic PH curves with rational rotation-minimizing frames (RRMF quintics), which offer no residual freedoms. Moreover, the degree 7 PH curves with rotation-minimizing ERFs are capable of interpolating motion data for which the RRMF quintics do not admit real solutions. Although these interpolants are of higher degree than the RRMF quintics, their rotation-minimizing frames are actually of lower degree (6 versus 8), since they coincide with the ERF. This novel construction of rational rotation-minimizing motions may prove useful in applications such as computer animation, geometric sweep operations, and robot trajectory planning.

No abstract

For a specific class of surfaces of revolution S, the existence of a smooth map Φ from a neighbourhood U of S to the Euclidean plane E 2 preserving distances infinitesimally along the meridians and the parallels of S and sending the meridional arcs of U ∩ S to straight lines of E 2 , is proven.

The polynomials with quaternion coefficients have two kind of roots: isolated and spherical. A spherical root generates a class of roots which contains only one complex number z and its conjugatez, and this class can be determined by z. In this paper, we deal with the complex roots of quaternion polynomials. More precisely, using Bézout matrices, we give necessary and sufficient conditions, for a quaternion polynomial to have a complex root, a spherical root, and a complex isolated root. Moreover, we compute a bound for the size of the roots of a quaternion polynomial.

Η μελέτη των συστημάτων συντεταγμένων ή πλαισίων (frames) τα οποίαορίζονται πάνω σε μία χωροκαμπύλη αποτελεί ένα πολύ ενδιαφέρον επιστημονι-κό πεδίο έρευνας. Πιο συγκεκριμένα, ενδιαφερόμαστε για εκείνα τα πλαίσια ταοποία είναι ορθοκανονικά και στα οποία το ένα από τρία διανύσματα συμπίπτειμε το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης, σε κάθε σημείο της. Τέτοια πλαίσιατα ονομάζουμε προσαρμοσμένα πλαίσια και μεταξύ αυτών ενδιαφερόμαστε ιδιαι-τέρως για τα πλαίσια ελάχιστης περιστροφής (RMF) τα οποία έχουν εξαιρετικάσημαντικές εφαρμογές, αφού εκτελούν την ελάχιστη περιστροφή κατα μήκοςτης καμπύλης. Ρητές αναπαραστάσεις των RMF ειναι επιθυμητές στις εφαρ-μογές, και έτσι οι τελευταίες έρευνες έχουν επικεντρωθεί στην μελέτη τέτοιωνπλαισίων- που καλούνται RRMF - και κυρίως στον προσδιορισμό, χαρακτηρι-σμό και κατασκευή καμπυλών στα οποία μπορούν να οριστούν RRMF πλαίσια.Αυτές οι καμπύλες πρέπει απαραιτήτως να είναι καμπύλες με ρητό εφαπτομενικόμοναδιαίο διάνυσμα, οι οποίες είναι γνωστές ως καμπύλες με πυθαγόρεια οδο-γραφήματα (PH καμπύλες). Χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα με συντελεστέςτετραδικούς αριθμούς (quaternions) ή εναλλακτικά την απεικόνιση Hopf μπο-ρούμε να αναπαραστήσουμε τις PH καμπύλες. ΄Ομως, ακόμα και στις PH καμ-πύλες ένα RMF, δεν είναι πάντοτε ρητό. Το Euler–Rodrigues πλαίσιο (ERF)που ορίζεται σε κάθε PH καμπύλη και είναι εκ κατασκευής ρητό, αποτελεί μίακαλή αναφορά για τον προσδιορισμό RRMF στις PH καμπύλες. Το ERF δενείναι εν γένει RMF. Οι μικρότερου βαθμού μη επίπεδες καμπύλες για τις οποίεςτο ERF μπορεί να είναι RMF είναι οι καμπύλες 7ου βαθμού.Στην παρούσα διατριβή δίνουμε ένα χαρακτηρισμό των PH καμπυλών 7ουβαθμού στις οποίες το ERF είναι ένα RMF, χρησιμοποιώντας και τις δύο ι-σοδύναμες μορφές αναπαράστασης των. Επιπλέον, ασχολούμαστε με τις PHκαμπύλες 5ου βαθμού και ερευνούμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία τέ-τοια καμπύλη είναι RRMF συγκεκριμένης κατηγορίας. Επίσης, μελετάμε ταπολυώνυμα με συντελεστές τετραδικούς αριθμούς, αφού μέσω αυτών των πο-λυωνύμων εκφράζουμε το οδογράφημα των PH καμπυλών και παρουσιάζουμεσχετικά αποτελέσματα που μας βοηθούν στην μελέτη των RRMF καμπυλών.Ακόμα παρουσιάζουμε έναν αλγόριθμο που υπολογίζει τις ρίζες των πολυωνύ-μων 2ου βαθμού με συντελεστές τετραδικούς αριθμούς και ο οποίος χρησιμο-ποιείται στην μελέτη των RRMF καμπυλών 5ου βαθμού. Τέλος, αποδεικνύουμεότι οι PH καμπύλες με μη πρωτογενή οδογραφήματα είναι αυτές στις οποίες τοαντίστοιχο πολυώνυμο με συντελεστές τετραδικούς αριθμούς μέσω του οποί-ου εκφράζεται, έχει μιγαδική ρίζα και παρατηρούμε ότι αυτές οι καμπύλες είναιομαλές καμπύλες. Επιπλέον, δίνουμε μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για ένατέτοιο πολυώνυμο να έχει μία τουλάχιστον μιγαδική ρίζα. Επιπλέον, δια μέσουαυτής της μελέτης προσδιορίζουμε και χαρακτηρίζουμε κάποιες συγκεκριμένεςκατηγορίες καμπυλών που “παράγονται” από άλλες μικρότερου βαθμού.