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Abstract. If (M, g) is a riemannian nilmanifold, the homothetic metrics eg on the universal cover M converge in the sense of Gromov for small e. In this convergence the volume of balls and the number of closed geodesies go to a limit, and precise asymptotic estimates are given for these numbers.A. Introduction Cet article porte sur la croissance des groupes discrets nilpotents, et des varietes riemanniennes sur lesquelles ils agissent par isometries.(1). La croissance 'algebrique' d'un groupe discret, de type fini F, a ete definie par A. Svarc [16]. Fixons un systeme generateur symetrique, fini S; tout element y du groupe peut s'ecrire comme un mot en les generateurs -y, e S, dont la longueur est £ \Pi\ par definition. La norme algebrique \y\ relative au systeme S est la longueur minimale d'un mot en les generateurs qui represente y. Pour un reel positif R, notons N S (R) le nombre d'elements de F dont la norme est inferieure a R. Le type de croissance de F est le type de croissance (exponentiel, polynomial) de la fonction N S (R).

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