Trong bài báo này, bài toán cân bằng vector ở hai dạng yếu và mạnh được nghiên cứu theo nón thứ tự có phần trong đại số khác rỗng. Trước hết, các cấu trúc giải tích trong không gian tuyến tính cũng như một số tính chất của chúng được khảo sát. Sau đó, các tính chất này được sử dụng để thiết lập các điều kiện đủ cho tập nghiệm của các bài toán cân bằng vector không là tập rỗng. Tiếp theo, các điều kiện đủ cho sự đặt chỉnh Zolezzi cho các bài toán đang xét cũng được thiết lập.

Trong bài báo này, một nón mới được giới thiệu và tính lồi của tập nghiệm hữu hiệu mạnh của một bài toán tối ưu vector thông qua nón mới này cũng được thảo luận. Đầu tiên, một nón thứ tự kết hợp dựa trên nón Orthant dương, nón Lorentz và nón từ điển được giới thiệu. Sau đó, các tính chất của nón này và mối quan hệ giữa nó với các nón khác được khảo sát. Cuối cùng, điều kiện tồn tại và tính lồi của tập nghiệm của bài toán tối ưu vector dựa trên nón mới được thiết lập.

Mô hình bài toán tối ưu vector thông qua tập co-radiant được xem xét và nghiên cứu các điều kiện tồn tại của nghiệm hữu hiệu yếu Benson cho các bài toán này. Trước tiên, các tính chất của tập radiant và tập co-radiant được thảo luận. Sau đó, mô hình bài toán tối ưu vector thông qua tập co-radiant và nghiệm hữu hiệu yếu Benson của chúng được đề xuất. Cuối cùng, bằng cách sử dụng phương pháp vô hướng hóa tuyến tính, các điều kiện đủ cho sự tồn tại của các nghiệm hữu hiệu yếu Benson này được thiết lập.

Trong bài báo này, mô hình bài toán tối ưu vector phụ thuộc tham số được tập trung nghiên cứu thông qua tập cải tiến và khảo sát tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm hữu hiệu yếu cho các bài toán này. Trước tiên, một số tính chất của tập cải tiến được xây dựng. Sau đó, mô hình bài toán tối ưu vector thông qua tập cải tiến và nghiệm hữu hiệu yếu của chúng được đề xuất. Cuối cùng, bằng cách sử dụng các tính chất của tập cải tiến và tính lồi của hàm có giá trị vector, các điều kiện đủ cho tính liên tục Hausdorff của các ánh xạ nghiệm hữu hiệu yếu này được khảo sát.