Agradeço a meu orientador, André Salles pela sua orientação, paciência, e acompanhamento no desarrolho do doutorado, e por me introduzir neste maravilhoso tema de pesquiça. Ao Prof. Sylvain Bonnot por sua apoio constaste. Ao IME da Universidade de São Paulo e seu corpo de professores, à Cnpq pelo apoio financeiro. A Minoru obrigado pelas conversas de matemática. A Pedro, Jeovanny, Hector Cabarcas e muitos outros obrigado por me apoiar. El núcleo duro: Andres e Michael. Finalmenta a minha família, em especial à minha Avo e Tia, sem elas este logro não tivesse sido possível.

Let N be an n-dimensional compact riemannian manifold, with n ≥ 2. In this paper, we prove that for any α ϵ 2 [0, n], the set consisting of homeomorphisms on N with lower and upper metric mean dimensions equal to α is dense in Hom(N). More generally, given α, β ϵ [0; n], with α ≤ β , we show the set consisting of homeomorphisms on N with lower metric mean dimension equal to α and upper metric mean dimension equal to β is dense in Hom(N). Furthermore, we also give a proof that the set of homeomorphisms with upper metric mean dimension equal to n is residual in Hom(N).