In 1987, Sabbah proved the existence of Bernstein-Sato polynomials associated with several analytic functions. The purpose of this paper is to give a more elementary and constructive proof of Sabbah's result based on the notion of the analytic Gröbner fan of a D-module.

Let k be a field of characteristic 0. Given a polynomial mapping f = (f 1 ,. .. , f p) from k n to k p , the local Bernstein-Sato ideal of f at a point a ∈ k n is defined as an ideal of the ring of polynomials in s = (s 1 ,. .. , s p). We propose an algorithm for computing local Bernstein-Sato ideals by combining Gröbner bases in rings of differential operators with primary decomposition in a polynomial ring. It also enables us to compute a constructible stratification of k n such that the local Bernstein-Sato ideal is constant along each stratum. We also present examples, some of which have nonprincipal Bernstein-Sato ideals, computed with our algorithm by using the computer algebra system Risa/Asir.

Étant donnée une famille de fonctions analytiques en 0 ∈ C n paramétrée par un espace lisse, nous étudions le polynôme de Bernstein de la fibre sur une variété irréductible V de l'espace des paramètres et nous montrons qu'il est génériquement constant. Nous montrons que ce polynôme b satisfait une équation fonctionnelle générique sur V et l'on dérive une stratification constructible de l'espace des paramètres par le polynôme de Bernstein de la fibre. Lorsque l'hypersurface admet génériquement une singularité unique en 0 ∈ C n nous montrons que b est le polynôme de Bernstein générique au sens de Briançon-Geandier-Maisonobe. Les outils utilisés sont une généralisation formelle d'un algorithme de Oaku calculant le polynôme de Bernstein local et les bases standard génériques récemment étudiées par l'auteur.