Das Ziel dieser Note besteht hauptsachlich darin, den folgenden Satz zu beweisen, der Ergebnisse und Untersuchungen der Arbeiten [l], [3], [4], [5], [6], [7], [9], [lo], [17], [21] verbessert bzw. erweitert. Ferner geben wir eine Anwendung auf mengentheoretisch vollstandige Durchschnitte (siehe Proposition 2 und das anschlieflende Beispiel). Satz. 8 e i (A, m) ein lokaler COHEN-MACAULAY-Ring mit unendlichem Restklmsenkaper Alm und a c A ein Ideal. Angenommen, fur jedes minimale Primideal p von a kann a A , v o n einer A,-regularen Polge der Lange ht(a) erzeugt werden. Dann sind die folgenden Bedingungen aquivalent :und es gilt Rad (a) = Rad ((al, . . ., a,)) und eo(a -A,, A,) = eo((al, . . ., a,) . A,, A,) fur alle minimalen Primideale p v o n a. (iv) gr,(A) ist ein freier Ala-Modul (iv') an/an+l ist ein freier Ala-Modul fur unendlich wiele n (v) gr,(A) ist ein COHEN-MACAULAY-MO~UZ uber Ala (vi) Ala" is.! ein COHEN-MACAULAY-R~~~ fur alle n 2 1 (vi') Alan b t ein COHEN-MACAULAY-Ring fur unendlich viele n (vii) Es ezistiert ein m-primiires Ideal q := (a, x), wobei x = (x,, . . ., 5,) ein Parametersystem fiir Ala ist, so dab gilt: eo(q, A) = c e o h Alp) * eo(a * A,, A,) 9 V wobei p alle msoziierten Primideale von a durchlauft rnit dim (Alp) = dim (A/a) (viii) Fur jedes nt-primiire Ideal q := (a, x), wobei x = (xl, . . ., 5 , ) ein Parametersystem fur Ala ist, gilt die Awsage (vii) (ix) Es ezistiert ein Parametersystem x := (xl, . . ., x,) fur Ala, so dab mit q := (a, x) fiir die HILBERTfunktion H 3 ( n ) und die ,,H-Punktion" (siehe Definition I ) Hgh,,(n) gilt H t i ( n ) = HEb.,(n) fur alle n 5 0 (x) Fur jedes Parametersystem x = (xl, ..., x,) fiir Ala und q := (a, x) gilt die Awsage (ix)
