No abstract

No abstract

Существует ряд важных прикладных задач, где число подлежащих вычислению глобальных экстремумов велико или даже бесконечно велико. К числу таких задач относятся, например, некоторые задачи планирования эксперимента, задачи о решении больших систем уравнений и ряд других. Если речь идет об одном экстремуме функции многих переменных, наиболее распространенным численным методом является метод имитации отжига, который также успешно применяется в дискретных задачах большого объема (задача о коммивояжере). В дискретных задачах известно, что метод имитации отжига ищет равные глобальные экстремумы с равной вероятностью. Непрерывный случай до сих пор не был исследован. Предполагалось, что равные экстремумы нужно находить последовательно, разделяя их окрестности в процессе вычислений. Это не всегда эффективный метод, особенно в случае, когда множество экстремумов заполняет некую область в R n. Полученные в данной статье результаты намечают общий подход к проблеме. Приводятся вычислительные примеры, свидетельствующие об эффективности подхода. На его базе возможно создание программ алгоритмов, указывающих локализацию корней больших систем уравнений. Также можно отметить, что очень многие задачи планирования регрессионных экспериментов имеют бесконечное множество решений. Библиогр. 4 назв. Ил. 5. Ключевые слова: имитация отжига, глобальный экстремум, планирование эксперимента. * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-00271-а).

Существует ряд важных прикладных задач, где число подлежащих вычислению глобальных экстремумов велико или даже бесконечно велико. К числу таких задач относятся, например, некоторые задачи планирования эксперимента, задачи о решении больших систем уравнений и ряд других. Если речь идет об одном экстремуме функции многих переменных, наиболее распространенным численным методом является метод имитации отжига, который также успешно применяется в дискретных задачах большого объема (задача о коммивояжере). В дискретных задачах известно, что метод имитации отжига ищет равные глобальные экстремумы с равной вероятностью. Непрерывный случай до сих пор не был исследован. Предполагалось, что равные экстремумы нужно находить последовательно, разделяя их окрестности в процессе вычислений. Это не всегда эффективный метод, особенно в случае, когда множество экстремумов заполняет некую область в R n .Полученные в данной статье результаты намечают общий подход к проблеме. Приводятся вычислительные примеры, свидетельствующие об эффективности подхода. На его базе возможно создание программ алгоритмов, указывающих локализацию корней больших систем уравнений. Также можно отметить, что очень многие задачи планирования регрессионных экспериментов имеют бесконечное множество решений. Библиогр. 4 назв. Ил. 5.Ключевые слова: имитация отжига, глобальный экстремум, планирование эксперимента. * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-00271-а).

The solution of a wide class of applied problems can be represented as an integral over the trajectories of a random process. The process is usually modeled with the Monte Carlo method and the integral is estimated as the average value of a certain function on the trajectories of this process. Solving this problem with acceptable accuracy usually requires modeling a very large number of trajectories; therefore development of methods to improve the accuracy of such algorithms is extremely important. The paper discusses Monte Carlo method modifications that use some classical results of the theory of cubature formulas (quasi-random methods). A new approach to the derivation of the well known Koksma-Hlawka inequality is pointed out. It is shown that for high ( s > 5 ) dimensions of the integral, the asymptotic decrease of the error comparable to the asymptotic behavior of the Monte Carlo method, can be achieved only for a very large number of nodes N. It is shown that a special criterion can serve as a correct characteristic of the error decrease (average order of the error decrease). Using this criterion, it is possible to analyze the error for reasonable values of N and to compare various quasi-random sequences. Several numerical examples are given. Obtained results make it possible to formulate recommendations on the correct use of the quasi-random numbers when calculating integrals over the trajectories of random processes.