where Π is the Szegő projector. This equation can be seen as a toy model for totally non dispersive evolution equations. We display a Lax pair structure for this equation. We prove that it admits an infinite sequence of conservation laws in involution, and that it can be approximated by a sequence of finite dimensional completely integrable Hamiltonian systems. We establish several instability phenomena illustrating the degeneracy of this completely integrable structure. We also classify the traveling waves for this system.R. -On considère l'équation hamiltonienne suivante sur l'espace de Hardy du cercleoù Π désigne le projecteur de Szegő. Cette équation est un cas modèle d'équation sans aucune propriété dispersive. On établit qu'elle admet une paire de Lax et une infinité de lois de conservation en involution, et qu'elle peut être approchée par une suite de systèmes hamiltoniens de dimension finie complètement intégrables. Néanmoins, on met en évidence des phénomènes d'instabilité illustrant la dégénérescence de cette structure complètement intégrable. Enfin, on caractérise les ondes progressives de ce système.The authors would like to thank S. Alinhac, L. Baratchart, T. Kappeler, S. Kuksin, J. Leblond, W. Strauss and M. Zworski for valuable discussions, and, for their hospitality, the IMPA in Rio de Janeiro, the Chennai Mathematical Institute and the CIRM in Luminy, where part of this work was done. This work was initiated during the visit of the second author at Orsay thanks to a CNRS fellowship. She thanks both of these institutions. The authors also acknowledge the support of the following ANR projects: EDP dispersives (ANR-07-BLAN-0250-01) for the first author, and AHPI (ANR-07-BLAN-0247-01) for the second author. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 0012-9593/05

We consider the following degenerate half-wave equation on the one-dimensional torus:We show that, on a large time interval, the solution may be approximated by the solution of a completely integrable system -the cubic Szegő equation. As a consequence, we prove an instability result for large H s norms of solutions of this wave equation.

Résumé. Nous poursuivons l'étude de l'équation hamiltonienne suivante sur l'espace de Hardy du cercle i∂ t u = Π(|u| 2 u) , où Π désigne le projecteur de Szegö. Cetteéquation est un cas modèle d'équation sans aucune propriété dispersive. Dans un travail précédent, nous avons montré qu'elle admettait une paire de Lax et qu'elleétait complètement intégrable. Dans cet article, nous construisons les variables action-angle, ce qui nous permet de ramener la résolution explicite de l'équationà un problème de diagonalisation. Une conséquence de cette construction est la solution d'un problème spectral inverse pour les opérateurs de Hankel. Nousétablissonségalement la stabilité des tores invariants correspondants. En outre, des formules explicites de résolution ainsi obtenues, nous déduisons la classification des ondes progressives orbitalement stables et instables.Abstract. We continue the study of the following Hamiltonian equation on the Hardy space of the circle,where Π denotes the Szegö projector. This equation can be seen as a toy model for totally non dispersive evolution equations. In a previous work, we proved that this equation admits a Lax pair, and that it is completely integrable. In this paper, we construct the action-angle variables, which reduces the explicit resolution of the equation to a diagonalisation problem. As a consequence, we solve an inverse spectral problem for Hankel operators. Moreover, we establish the stability of the corresponding invariant tori. Furthermore, from the explicit formulae, we deduce the classification of orbitally stable and unstable traveling waves.