No abstract

Using an improved qualitative method which combines characteristics of several methods, we classify all travelling wave solutions of the modified Degasperis-Procesi equation in specified regions of the parametric space. Besides some popular exotic solutions including peaked waves, and looped and cusped waves, this equation also admits some very particular waves, such as fractal-like waves, double stumpons, double kinked waves, and butterfly-like waves. The last three types of solutions have not been reported in the literature. Furthermore, we give the limiting behavior of all periodic solutions as the parameters trend to some special values.

A qualitative analysis method to efficiently solve the shallow wave equations is improved, so that a more complicated nonlinear Schrödinger equation can be considered. By using the detailed study, some quite strange optical solitary waves are obtained in which the bright and dark optical solitary waves are allowed to coexist.

A new algebraic transformation method is constructed for finding traveling-wave solutions of complicated nonlinear wave equations on the basis of simpler ones. The generalized Dullin-Gottwald-Holm (DGH) equation and mKdV equations are chosen to illustrate our method. The solutions of the DGH equation can be obtained directly from solutions of the mKdV equation. Conditions under which different solutions appear are also given. Abundant traveling-wave solutions of the generalized DGH equation are obtained, including periodic solutions, smooth solutions with decay, solitary solutions, and kink solutions. Побудовано новий метод алгебраїчних перетворень для знаходження розв'язків типу біжучих хвиль для складних нелінійних хвильових рівнянь на основі більш простих. Для ілюстрації методу використано узагальнене рівняння Далліна-Готвальда-Холма та модифіковане рівняння Кортевега-де Фріза. Розв'язки рівняння Далліна-Готвальда-Холма можна отримати безпосередньо із розв'язків модифікованого рівняння Кортевега-де Фріза. Наведено також умови для отримання різних розв'язків. Отримано чисельні розв'язки типу біжучих хвиль для узагальненого рівняння Далліна-Готвальда-Холма, серед яких періодичні розв'язки, гладкі розв'язки з запізненням, солітонні розв'язки та кінк-розв'язки.

No abstract