We establish effective versions of Oppenheim’s conjecture for generic inhomogeneous quadratic forms. We prove such results for fixed shift vectors and generic quadratic forms. When the shift is rational we prove a counting result, which implies the optimal density for values of generic inhomogeneous forms. We also obtain a similar density result for fixed irrational shifts satisfying an explicit Diophantine condition. The main technical tool is a formula for the 2nd moment of Siegel transforms on certain congruence quotients of $SL_n(\mathbb{R}),$ which we believe to be of independent interest. In a sequel, we use different techniques to treat the companion problem concerning generic shifts and fixed quadratic forms.

We study shrinking targets problems for discrete time flows on a homogenous space Γ\G with G a semisimple group and Γ an irreducible lattice. Our results apply to both diagonalizable and unipotent flows, and apply to very general families of shrinking targets. As a special case, we establish logarithm laws for cusp excursions of unipotent flows answering a question of Athreya and Margulis.

Using results from spectral theory of Eisenstein series, we prove a formula for the second moment of the Siegel transform when averaged over the subspace of symplectic lattices. This generalizes the classical formula of Rogers for the second moment in the full space of unimodular lattices. Using this new formula we give very strong bounds for the discrepancy of the number of lattice points in an Borel set, which hold for generic symplectic lattices.

No abstract

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