Abstract. We prove an universal inequality between the diastole, defined using a minimax process on the one-cycle space, and the area of closed Riemannian surfaces. Roughly speaking, we show that any closed Riemannian surface can be swept out by a family of multi-loops whose lengths are bounded in terms of the area of the surface. This diastolic inequality, which relies on an upper bound on Cheeger's constant, yields an effective process to find short closed geodesics on the two-sphere, for instance. We deduce that every Riemannian surface can be decomposed into two domains with the same area such that the length of their boundary is bounded from above in terms of the area of the surface. We also compare various Riemannian invariants on the two-sphere to underline the special role played by the diastole.Résumé. Nous démontrons une inégalité universelle entre la diastole, définie par un procédé de minimax sur l'espace des 1-cycles, et l'aire d'une surface riemannienne fermée. De manière informelle, nous prouvons que toute surface riemannienne fermée peutêtre balayée par une famille de multi-lacets dont les longueurs sont contrôlées par l'aire de la surface. Cette inégalité diastolique, qui repose sur une majoration de la constante de Cheeger, fournit en particulier un procédé effectif pour trouver de courtes géodésiques fermées sur une 2-sphère. Nous déduisons que toute surface riemannienne peutêtre décomposée en deux domaines de même aire dont la longueur du bord commun est majoréeà l'aide de l'aire de la surface. Nous comparonségalement divers invariants riemanniens sur la 2-sphère afin de souligner le rôle spécial joué par la diastole.

International audienceWe hereby introduce and study the notion of self-contracted curves, which encompasses orbits of gradient systems of convex and quasiconvex functions. Our main result shows that bounded self-contracted planar curves have a finite length. We also give an example of a convex function defined in the plane whose gradient orbits spiral infinitely many times around the unique minimum of the function

Abstract. -We show that the length of the shortest nontrivial curve among the simple closed geodesics of index zero or one and the figure-eight geodesics of null index provides a lower bound on the area and the diameter of the Riemannian 2-spheres. Résumé (Rayon de remplissage et courtes géodésiques fermées de la 2-sphère)Nous montrons que la longueur de la plus courte courbe non triviale parmi les géodésiques simples fermées d'indice zéro ou un et les géodésiques en huit d'indice nul fournit une minoration sur l'aire et le diamètre des deux-sphères riemanniennes.