Mv−matrix is a matrix of the form A = sI −B, where 0 ≤ ρ(B) ≤ s and B is an eventually nonnegative matrix. In this paper, Mv−matrices concerning the Perron-Frobenius theory are studied. Specifically, sufficient and necessary conditions for an Mv−matrix to have positive left and right eigenvectors corresponding to its eigenvalue with smallest real part without considering or not if index0B ≤ 1 are stated and proven. Moreover, analogous conditions for eventually nonnegative matrices or Mv−matrices to have all the non Perron eigenvectors or generalized eigenvectors not being nonnegative are studied. Then, equivalent properties of eventually exponentially nonnegative matrices and Mv−matrices are presented.  Various numerical examples are given to support our theoretical findings.

Mv−matrix is a matrix of the form A = sI −B, where 0 ≤ ρ(B) ≤ s and B is an eventually nonnegative matrix. In this paper, Mv−matrices concerning the Perron-Frobenius theory are studied. Specifically, sufficient and necessary conditions for an Mv−matrix to have positive left and right eigenvectors corresponding to its eigenvalue with smallest real part without considering or not if index 0 B ≤ 1 are stated and proven. Moreover, analogous conditions for eventually nonnegative matrices or Mv−matrices to have all the non Perron eigenvectors or generalized eigenvectors not being nonnegative are studied. Then, equivalent properties of eventually exponentially nonnegative matrices and Mv−matrices are presented. Various numerical examples are given to support our theoretical findings.

No abstract

No abstract

Από το 1907, ο Oskar Perron απέδειξε ένα θεώρημα για θετικούς πίνακες, το οποίο επεκτάθηκε από τον Georg Frobenius το 1912 για μη αναγώγιμους μη αρνητικούς πίνακες. Στη συνέχεια αναπτύχθηκε η γνωστή θεωρία Perron-Frobenius για μη αρνητικούς πίνακες. ́Ενας Mv-πίνακας γράφεται στην μορφή A=sI−B, όπου 0≤ρ(B)≤s και B είναι τελικά μη αρνητικός πίνακας. Ενας GM-πίνακας γράφεται στην μορφή A=sI−B, όπου οι B και B^T έχουν την ιδιότητα Perron-Frobenius (Perron-Frobenius property). Αυτές οι κλάσεις πινάκων είναι επεκτάσεις των γνωστών M-πινάκων. Στην διδακτορική διατριβή, διατυπώνουμε αρχικά τους ορισμούς και τα θεωρήματα που χρειάζονται για να γίνει κατανοητή η Θεωρία Perron-Frobenius σε σχέση και με τις επεκτάσεις των M-πινάκων. Στην συνέχεια, στο κεφάλαιο 2, μελετούμε τους Mv-πίνακες σε σχέση με τη Θεωρία Perron-Frobenius. Ειδικότερα, δίνουμε και αποδεικνύουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες τέτοιες ώστε ένας Mv-πίνακας να έχει θετικό αριστερό και δεξιό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην απόλυτα μικρότερη πραγματική ιδιοτιμή, λαμβάνοντας υπόψη ότι (index_0 B)≤1 ή όχι. Επιπλέον, μελετώνται ανάλογες συνθήκες για τελικά μη αρνητικούς πίνακες ή Mv-πίνακες ώστε όλα τα υπόλοιπα ιδιοδιανύσματα ή γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, εκτός από το ιδιοδιάνυσμα Perron, να μην είναι μη αρνητικά. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται ισοδύναμες ιδιότητες τελικά εκθετικά μη αρνητικών πινάκων και Mv-πινάκων. Στο κεφάλαιο 3, μελετούμε ιδιότητες για Mv- και GM-πίνακες σε σχέση με το συμπλήρωμα Schur. Συγκεκριμένα, μελετούμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το συμπλήρωμα Schur διαφόρων τύπων Mv-πινάκων, να έχουν την Mv-ιδιότητα. Επίσης, μελετούμε το συμπλήρωμα Schur για διαταραγμένους Mv-πίνακες. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε την Mv-ιδιότητα του συμπληρώματος Schur οποιουδήποτε πίνακα, όταν ο υποπίνακας A22 είναι Mv-πίνακας. Μελετούμε επίσης ανάλογες συνθήκες για το συμπλήρωμα Schur των GM-πινάκων ώστε να έχουν την GM-ιδιότητα. Στο κεφαλαίο 4, παρουσιάζουμε εφαρμογές των επεκτάσεων της θεωρίας Perron-Frobenius σε άλλες επιστήμες, όπως η Θεωρία Δικτύου, η Βιολογία, η Οικονομία κ.λ.π. Στα κεφάλαια 2 και 3, παρουσιάζονται πολλά αριθμητικά παραδείγματα που υποστηρίζουν και επιβεβαιώνουν τα θεωρητικά αποτελέσματα.