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We construct a relative de Rham-Witt complex W Ω · X/S for a scheme X over a base scheme S. It coincides with the complex defined by Illusie (Annls Sci. Ec. Norm. Super. 12 (1979), 501-661) if S is a perfect scheme of characteristic p > 0. The hypercohomology of W Ω · X/S is compared to the crystalline cohomology if X is smooth over S and p is nilpotent on S. We obtain the structure of a 3n-display on the first crystalline cohomology group if X is proper and smooth over S.

In vielen F~illen ist die Shimuravermutung gel6st: es gibt ein kanonisches Modell von S(G,h) fiber einem Zahlk6rper E=E(G,h)cff2, der sich explizit beschreiben l/~Bt. Das Problem, die Zetafunktion der algebraischen Variet~it Sc(G,h ) fiber E zu bestimmen, ist seit l~ingerer Zeit yon Interesse. Das Ziel ist es, diese Zetafunktion als Produkt yon L-Funktionen, die yon Langlands zu automorphen Darstellungen assoziiert werden, auszudriicken. Der lokale Faktor der Zetafunktion in einer guten Stelle ist jetzt in einigen F~illen bekannt (Eichler, Shimura, Ihara ffir Shimurakurven; Langlands ftir einige Shimuravariet~iten h6herer Dimension). In dieser Arbeit bestimmen wir den lokalen Faktor der Zetafunktion in gewissen schlechten Stellen ftir einige Shimuravarietiiten der Dimension 2. Unser Resultat betrifft die beiden folgenden Klassen von Shimuravariet~ten. Es sei p eine feste rationale Primzahl. Klasse A: Gist eine Gruppe yon unit~iren .~hnlichkeiten fiber Q, so dab Gad a =PSU(2, 1) und so dab GaaQp anisotrop ist. Ober die offene kompakte Untergruppe C cG(Ay) setzen wir voraus, dab sie maximal kompakt in p ist. Die entsprechende Shimuramannigfaltigkeit ist tiber einem imaginiir-quadratischen K6rper E definiert, in dem p in zwei verschiedene Primideale ~1 und fi2 zerf~illt. Wir bestimmen die lokalen Faktoren in /~1 und ~2. Grob gesagt ist unser Ergebnis, dab der lokale Faktor in /~i ein Produkt von lokalen Hecke'schen L-Funktionen von E in ~i ist:Z ~, ( S c( G, h ) l E, s) = I] ( L( s, Z~)" L( s -1, Zk) L( s -2, )~k))" [I L( s, Xl) k l

Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. 4 e série, t. 44, 2011, p. 197