Will man zeigen, dass ein Problem zwar algorithmisch lösbar, aber nur schwer (d.h. nicht in Polynomialzeit) lösbar ist, so macht man dies meist dadurch, dass man das Problem als hart oder vollständig für eine Komplexitätsklasse nachweist, die schwer lösbare Probleme enthält. Lutz (1995) schlug eine Verallgemeinerung dieses Ansatzes vor, die auf schwachen Härte-bzw. Vollständigkeitsbegriffen basiert. Während eine Menge A hart (oder schwer) für eine Komplexitätsklasse C ist, wenn alle Probleme aus C auf A reduziert werden können (mittels einer polynomialzeit-bechränkten many-one-Reduktion) und A vollständig für C ist, wenn zusätzlich A selbst in C liegt, nennt Lutz eine Menge A schwach hart, falls ein nicht zu vernachlässigender Teil der Probleme aus C auf A reduzierbar ist, und schwach vollständig, wenn wiederum zusätzlich A ∈ C gilt. Im Falle der Exponentialzeit-Klassen E = DTIME(2 lin) und EXP = DTIME(2 poly) formalisierte Lutz diese Ideen, indem er geeignete ressourcenbeschränkte Varianten des Lebesgue-Maßes auf diesen Klassen einführte und Teilklassen von E vernachlässigbar nennt, falls diese Maß 0 in E haben (und entsprechend für EXP). Eine Variante dieser Konzepte, in der das Lebesgue-Maß durch Baire-Kategorie ersetzt ist, wurde von Ambos-Spies (1996) vorgeschlagen. Hier sind die vernachlässigbaren Teilklassen diejenigen, die-im entsprechenden ressourcenbeschränkten Sinne-mager sind. In unserer Dissertation führen wir neue, allgemeinere schwache Härtebegriffe für E und EXP ein und vergleichen diese mit den oben genannten Konzepten aus der Literatur. Die zwei wichtigsten der von uns neu eingeführten Konzepte sind die Nichttrivialität, die als das allgemeinste schwache Härtekonzept angesehen werden kann, und die starke Nichttrivialität. Im Falle der Klasse E ist eine Menge A E-nichttrivial, falls es für jedes k ≥ 1 eine Menge aus E gibt, die auf A reduzierbar ist und 2 k•nkomplex ist, d.h. nur von Turingmaschinen erkannt werden kann, deren Laufzeit auf unendlich vielen Eingaben die Schranke 2 k•nü berschreitet; und A ist stark Enichttrivial, falls diese einen fastüberall 2 k•n-komplexen Vorgänger in E besitzt. In unserer Arbeit geben wir Beispiele für E-(nicht)triviale und stark E-(nicht)triviale Mengen an, untersuchen deren Eigenschaften, trennen alle schwachen Vollständigkeitsbegriffe für E, vergleichen die entsprechenden Begriffe für E und EXP, beantworten die Frage, ob (stark) E-nichttriviale Mengen typisch sind (im Bezug auf E, im Bezug auf die entscheidbaren Mengen und im Bezug auf alle Mengen), untersuchen die (p-m-)Grade der (stark) E-(nicht)trivialen Mengen, und analysieren die Stärke der Varianten der schwachen Härtebegriffe, bei denen die zugrundegelegte p-m-Reduzierbarkeit durch allgemeinere Polynomialzeit-Reduzierbarkeiten ersetzt ist.
