In this paper, we investigate the existence of triple concave symmetric positive solutions for the nonlinear boundary value problems with integral boundary conditions. The proof is based upon the Avery and Peterson fixed point theorem. An example which supports our theoretical result is also indicated.

This paper deal with the following second-order three-point boundary value problem with integral boundary condition on a half-line u (x) + q(x) f (x, u(x), u (x)) = 0, x ∈ (0, +∞), u(0) = λ η 0 u(s)ds, u (+∞) = C, where λ > 0, 0 < λη < 1 and f : [0, +∞) × R 2 → R satisfies a Nagumo's condition which plays an important role in the nonlinear term depend on the first-order derivative explicitly. By using Schauder's fixed point theorem, the upper and lower solution method and topological degree theory, first we give sufficient conditions for the existence of at least one solution and next at least three solutions of the above problem. Moreover, an example is included to demonstrate the efficiency of the main results.

ÖZETBu çalışmada, ≥ 1 ve ≥ 2 iken ( , ) Sierpinski çizgelerinin oyun renk sayısı ve özel olarak = 3 için ( , ) Sierpinski çizgelerinin oyun kromatik sayısı hesaplanmıştır. Ayrıca Sierpinski çizgeler ile ilgili bazı açık problemlerden de bahsedilmiştir.Anahtar Kelimeler: Sierpinski çizge, Oyun kromatik sayısı, Oyun renk sayısı GAME CHROMATIC NUMBER AND GAME COLORING NUMBER OF SIERPINSKI GRAPHS ABSTRACTIn this study, we find exact values for the game coloring number of the Sierpinski graphs ( , ) for ≥ 1 and ≥ 2. Furthermore, game chromatic number of the Sierpinski graphs ( , ) for = 3 is determined. Moreover, we present certain open problems on Sierpinski graphs.Keywords: : Sierpinski graph, Game chromatic number, Game coloring number GİRİŞÇizgelerde boyama ilk olarak dört renk problemi ile başlamıştır. Brams dört renk problemini ispatlamak için haritalarda boyama oyunu (map coloring game) kavramını tanımlamıştır. Brams'ın tanımladığı bu oyun Gardner'ın Mathematical Games adlı makalesinde verilmiştir [4]. Bir çizgenin oyun kromatik sayısı ise (game chromatic number) ilk olarak Bodlaender tarafından iki kişilik sonlu bir oyun yardımıyla tanımlanmıştır [1]. G sonlu bir çizge ve 'de renkler kümesi olsun. Genellikle Alice ve Bob olarak adlandırılan iki oyuncu, ilk olarak Alice başlamak üzere sırasıyla kümesinden seçtikleri renklerle komşu köşe noktalar farklı renklerde olacak şekilde çizgenin köşe noktalarını boyasınlar. Eğer kümesindeki renklerle çizgenin tüm köşe noktaları bu şekilde boyanabilirse Alice oyunu kazansın. Eğer oyunun herhangi bir aşamasında kümesindeki tüm renklerle boyanan noktalara komşu olan ve boyanmamış bir nokta kalıyorsa oyunu Bob kazansın. Oyuncular optimal stratejileri ile oynadıklarında oyunu kimin kazanacağı elbette çizgenin yapısına ve kümesindeki renklerin sayısına bağlıdır. , bir çizgesinin köşe noktalarının kümesi olmak üzere eğer | | ≥ | | ise Alice'in her zaman oyunu kazanacak bir stratejisi vardır. Diğer taraftan kümesindeki renkler yeterli sayıda değilse örneğin, ( ) bir çizgesinin kromatik renk sayısını göstermek üzere | | < χ(G) ise Bob'un her zaman oyunu kazanacak bir stratejisi vardır. Bir çizgenin oyun kromatik sayısı Alice'in her zaman kazanabileceği bir stratejinin olduğu kümesindeki minimum renk sayısı şeklinde tanımlanır ve bir çizgesinin oyun kromatik sayısı ile gösterilir. Verilen tanımlardan doğal olarak ( ) ≤ ( ) ≤ Δ( ) + 1 eşitsizliği elde edilir. Burada Δ( ), çizgesindeki maksimum dereceyi göstermektedir.