We describe an algorithm to compute the zeta function of a cyclic cover of the projective line over a finite field of characteristic p that runs in time p 1/2+o(1) . We confirm its practicality and effectiveness by reporting on the performance of our SageMath implementation on a range of examples. The algorithm relies on Gonçalves's generalization of Kedlaya's algorithm for cyclic covers, and Harvey's work on Kedlaya's algorithm for large characteristic.

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Yuri Zarhin gave formulas for “dividing a point on a hyperelliptic curve by 2”. Given a point $P$ on a hyperelliptic curve $\mathcal{C}$ of genus $g$, Zarhin gives the Mumford representation of an effective degree $g$ divisor $D$ satisfying $2(D - g \infty ) \sim P - \infty $. The aim of this paper is to generalize Zarhin’s result to superelliptic curves; instead of dividing by 2, we divide by $1 - \zeta $. There is no Mumford representation for divisors on superelliptic curves, so instead we give formulas for functions that cut out a divisor $D$ satisfying $(1 - \zeta ) D \sim P - \infty $. Additionally, we study the intersection of $(1 - \zeta )^{-1} \mathcal{C}$ and the theta divisor $\Theta $ inside the Jacobian $\mathcal{J}$. We show that the intersection is contained in $\mathcal{J}[1 - \zeta ]$ and compute the intersection multiplicities.

L'accès aux articles de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.centre-mersenne.org/), implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://jtnb. centre-mersenne.org/legal/). Toute reproduction en tout ou partie de cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l'utilisation à fin strictement personnelle du copiste est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.centre-mersenne.org/ Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 33 (2021), 607-625 On the -adic valuation of certain Jacobi sums par Vishal ARUL Résumé. Soient et f deux nombres premiers distincts. Soient F q un corps fini tel que q ≡ 1 (mod f ), χ , χ f : F × q → Q × deux caractères multiplicatifs d'ordres respectifs et f et J(χ , χ f ) la somme de Jacobi associée. Nous prouvons une nouvelle congruence pour J(χ , χ f ). Plus précisément, nous montrons que J(χ , χ f ) ≡ −1 (mod (1 − ζ ) i ) avec i ≤ si et seulement si certaines unités cyclotomiques de F × q sont des puissances -ièmes.

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