No abstract

519.62 Applying continued fractions, we propose numerical methods of solving nonlinear Volterra integral equations of second kind.Consider a nonlinear Volterra integral equationwhere the function F[x, y, f(y)] has the smoothness needed for the computations. We break the interval It. = [a, b] .. [a+otlh, a+fllh, 0], k2=F[a+et2h, a+fl2h, y21hkl]. dk,l-I +--We determine the parameters aij, ~i, fli (i, j = 1,2) and 1,21 from the condition that the Taylor series expansions of the unknown solution f2 and the approximate solution Y~ 1.0l in a neighborhood of the point x = x l coincide up to terms of order h 2 inclusive.

Побудовано математичну модель і проведено розрахунок розподілу магнітного поля у магнітотвердому шарі, що знаходиться за умов одночасної дії гармонійного за часом та постійного магнітного полів. Задача розв'язується двома способами: за допомогою методу малого параметру, а також з використанням нелінійних обчислювальних формул. Запропоновано розрахункові формули, що дозволяють у кожній вузловій точці лише за чотири звертання до правої частини диференційного рівняння отримати метод четвертого порядку точності, а також два двосторонні наближення третього порядку точності. Ключові слова. Магнітне поле, магнітотвердий шар, рівняння електродинаміки, індукція, напруженість, задача Коші, неперервні дроби, нелінійні чисельні методи, двосторонні наближення. Вступ. Математичне моделювання є одним із сучасних наукових методів дослідження прикладних задач і у багатьох важливих випадках дозволяє замінити реальний процес, а також отримати як якісну, так і кількісну характеристику модельованого процесу. При розрахунку напружено-деформівного стану тонкостінних елементів конструкцій (стержнів, пластин, оболонок), а також задач гідроакустики, кінетики, електроніки, і т.д., виникає потреба знаходити не тільки наближені розв'язки досліджуваних математичних моделей, але й гарантовану оцінку похибки. Одним з ефективних способів побудови таких наближень є ланцюгові (неперервні) дроби. Процес їх обчислень є циклічним і легко програмується на ПК. Формулювання задачі. Розглянемо електропровідний шар із магнітотверлого матеріалу товщиною l. Шар знаходиться під впливом зовнішнього магнітного поля, коли на поверхнях. (14) Тут z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z sh z z z z z z z z z z z z z z z z , (15) де z z z z z b b z z z b z z z z COMPUTER TECHNOLOGIES OF PRINTING 2019/1 (41) 6 9 z z z z z z z z z b z z z z z z z z z z diff erential equation, allow us to obtain not only a one-step method of the fourth order of accuracy, but also two-sided calculation formulas of the third order of accuracy. Note that when using the above calculation formulas, at each node we get several approximations to the exact solution. Comparison of these approximations provides additional information for the choice of the integration step or for evaluation of the accuracy of the result.

No abstract

Using the continued fractions and the method of constructing Runge-Kutta methods, numerical methods for solving the Cauchy problem for nonlinear Volterra non-linear integrodifferential equations are proposed. With appropriate values of the parameters, one can obtain an approximation to the exact solution of the first and second order of accuracy. We found a set of parameters for which we obtain two-sided calculation formulas, which at each step of integration allow to obtain the upper and lower approximations of the exact solution.