Σκοπός της διατριβής ήταν η θερμοδυναμική μελέτη ενός φερμιονικού και ενός μποζονικού μοντέλου φορτισμένων σωματιδίων σε πεπερασμένη θερμοκρασία και φανταστικό χημικό δυναμικό, χρησιμοποιώντας μία προσέγγιση για μεγάλο Ν. Για συγκεκριμένες τιμές του χημικού δυναμικού βρήκαμε στατιστικές μεταβάσεις κατά τις οποίες η συνάρτηση ελεύθερης ενέργειας παρουσιάζει ακρότατα. Αρχικά παρουσιάσαμε την κατασκευή των καταστάσεων φάσης των μοντέλων στις τρεις διαστάσεις με τη βοήθεια κατάλληλων ειδικών συναρτήσεων και σημειώσαμε πιθανές σχέσεις των αποτελεσμάτων μας με κομμάτια της υπερβολικής γεωμετρίας που έχουν σχέση με την τρισδιάστατη βαρύτητα. Ακόμα παρουσιάσαμε ακριβείς σχέσεις δυαδικότητας μεταξύ των μοντέλων και στη συνέχεια μελετήσαμε πιθανές εφαρμογές τους στην κρυσταλλογραφία καθώς και μία επέκταση των υπολογισμών σε υψηλότερες περιττές διαστάσεις για μία μικρή περιοχή του διαγράμματος φάσεων. Διαπιστώσαμε πως η γενίκευση της θεωρίας μας σε υψηλότερες διαστάσεις είναι δυνατή καθώς εμφανίζονται αντίστοιχες ιδιότητες με τη φυσική χαμηλότερων διαστάσεων μέσα σε συγκεκριμένα θερμικά παράθυρα μποζονοποίησης/φερμιονοποίησης. Σε όλα τα παραπάνω η διάσταση των μοντέλων μας ήταν μία χρήσιμη παράμετρος που σε μεγάλο όριο μας οδήγησε σε ήδη γνωστά φυσικά φαινόμενα και αποτελέσματα. Η εύρεση των μηδενισμών και μεγιστοποιήσεων ειδικών συναρτήσεων της υπερβολικής γεωμετρίας αποτελεί ένα ιδιαίτερο και μεγάλης ακρίβειας αποτέλεσμα και η χρήση αυτών μας οδήγησε τελικά σε μία νέα υπόθεση που προκύπτει ως ένας γενικευμένος νόμος σκέδασης σωματιδίων από ψευδοκρυστάλλους.