Η παρούσα διατριβή εμπίπτει κυρίως στην περιοχή της Μιγαδικής Ανάλυσης και σχετίζεται άμεσα με τη Γεωμετρία. Τα πρώτα δύο κεφάλαια είναι εισαγωγικά και περιέχουν έννοιες σχετικές με τις ολόμορφες συναρτήσεις αλλά και με τη Θεωρία Δυναμικού. Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται αρχικά ήδη γνωστά θεωρήματα μονοτονίας, που αποτελούν γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz. Στην πορεία, αποδεικνύουμε δύο θεωρήματα μονοτονίας για κυρτές συναρτήσεις και μία γεωμετρική παραλλαγή του Λήμματος Schwarz για την ολική καμπυλότητα. Στο τέταρτο κεφάλαιο, εξετάζουμε αν υπάρχουν αντίστοιχα θεωρήματα μονοτονίας όταν ο μοναδιαίος δίσκος είναι εφοδιασμένος με την υπερβολική μετρική. Αποδεικνύουμε γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz για την κλάση των υπερβολικά κυρτών συναρτήσεων. Στο πέμπτο κεφάλαιο, γίνεται εισαγωγή στη θεωρία των ημιομάδων ολόμορφων συναρτήσεων του μοναδιαίου δίσκου. Διατυπώνουμε το πρόβλημα με το οποίο ασχολούμαστε, που αφορά τη συμπεριφορά της εικόνας ενός συμπαγούς συνόλου μέσω μίας ημιομάδας. Η ασυμπτωτική συμπεριφορά της εικόνας εξετάζεται υπό το πρίσμα μεγεθών της Υπερβολικής Γεωμετρίας και της Θεωρίας Δυναμικού.