All Russian mathematical portal P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, Construction of a solution to a velocity problem in the case of violation of the smoothness of the curvature of the target set boundary, Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета 2019. Том 53 УДК 517.977 c П. Д. Лебедев, А. А. Успенский ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ПРИ НАРУШЕНИИ ГЛАДКОСТИ КРИВИЗНЫ ГРАНИЦЫ ЦЕЛЕВОГО МНОЖЕСТВА В развитие аналитических и численных алгоритмов построения негладких решений задач оптимального управления предложены процедуры конструирования рассеивающих кривых для одного класса задач управления по быстродействию. Рассматриваются задачи о приведении за минимальное время решений динамической системы с круговой вектограммой скоростей для случая, когда целевое множество, вообще говоря, невыпуклое, при этом его граница имеет точки, в которых нарушается гладкость кривизны. Указанные точки относят к псевдовершинам -характеристическим точкам целевого множества, отвечающим за возникновение сингулярности функции оптимального результата. При формировании надлежащей (в данном случае учитывающей геометрию вектограммы скоростей управляемой системы) перепараметризации дуги границы целевого множества, содержащей псевдовершину, рассеивающая кривая конструируется в виде интегральной кривой. При этом начальные условия соответствующей задачи Коши определяются свойствами псевдовершины. Одна из числовых характеристик псевдовершины, маркер псевдовершины, определяет начальную скорость материальной точки, описывающей гладкий участок рассеивающей кривой. Указанный подход к выявлению и построению (в аналитическом или численном виде) сингулярных кривых ранее обоснован для ряда различных по порядку гладкости случаев границы цели. Следует подчеркнуть, что рассматриваемый в работе случай является наиболее специфичным, в частности, из-за выявленной связи динамической задачи с задачей алгебры многочленов. Доказано, что маркер псевдовершины является неположительным корнем некоторого многочлена третьего порядка, коэффициенты которого определяются односторонними производными кривизны в псевдовершине границы целевого множества. Эффективность развиваемых теоретических методов и численных процедур проиллюстрирована на конкретных примерах. Ключевые слова: задача быстродействия, рассеивающая кривая, биссектриса множества, псевдовершина, функция оптимального результата, кривизна.
ВведениеИзучение задачи быстродействия с круговой вектограммой скоростей проводится на основе выделения биссектрисы целевого множества. В плоском случае биссектриса [1, 2] цели совпадает с объединением рассеивающих кривых. Исследуются свойства псевдовершин -характеристических точек целевого множества, отвечающих за возникновение сингулярности функции оптимального результата. Ранее подробно исследован ряд частных ситуаций. Рассмотрен случай, когда кривизна границы цели в псевдовершине является гладкой функцией, а также случай, при котором классическая кривизна в псевдовершине не определена, но при этом существуют ее односто...
