В статье изучаются предельные распределения максимума сумм max^f c^n £n,i в схеме серий £ п%к , к = l,...,n, п = 1,2,..., независимых одинаково распределенных в отдельной серии случай ных величин в случаях, когда а п = E£ nj fc-> 0 и или 1) а п л/п-> со, или 2) а п у/п-»-со, или 3) а п у/п-> 0 при п-> со. Дано пря мое доказательство того, что аналитические выражения для пре дельных законов, полученные ранее разными авторами, совпадают. Кроме того, в этих переходных случаях методом характеристиче ских функций доказана сходимость последовательности распреде лений максимумов к предельным законам. Ключевые слова и фразы: схема серий, максимум последова тельных сумм, предельные распределения, метод характеристиче ских функций. Пусть £ п^, к = 1,...,n, п = 1,2,...,-последовательность серий независимых случайных величин (сл.в.). Сл.в. £ п , к одинаково распреде лены при фиксированном п по закону F n (x) = P{£n,i < Положим к ^n,k-5^£nj> ^n,A

Статья посвящена исследованию вероятностей больших укло нений без требования целочисленности рассматриваемых случай ных величин, что предполагалось почти во всех работах, посвящен ных уточнению предельных теорем в случае предельных простого и обобщенного законов Пуассона.

Статья посвящена оценке расстояния в равномерной метрике между функцией распределения F и разрывной функцией ограничен ной вариации G через разность им соответствующих преобразований Фурье-Стильтьеса и через концентрацию функций F в окрестностях точек разрыва. Ключевые слова и фразы: формула обращения, функции распре деления, характеристические функции, функции концентрации. Алешкявичене А. К., Статулявичус В. А. [4, теорема 2] получена оценка *uj>\F{x)-G(z)\*\J* m-g{t) dt. (1) Аналогичный результат имеет место и тогда, когда G является функ цией ограниченной вариации от целочисленного неотрицательного аргу мента [5, лемма 1]. Следует отметить и формулу обращения, получен ную А. Кароблисом [8, лемма 1]. Интересный результат без каких-либо ограничений на функции распределения F и G недавно получен В. Бенткусом и Ф. Гетце [9, лемма 8.1]. Они показали, что для любых функций распределения FHGH любого Т > 0 имеет место оценка sup\F(x)-G(x)| *^f \ m ~ 9 { t) I dt + R(T), (2) где Д(Т)<± J |д«)|л+1 J \g(t)\dt. Но в некоторых интересующих нас случаях, в частности, в слу чае, когда G-закон Пуассона, оценка остаточного члена R(T) через оценки величин Г-1 J^T \ f(t)\dt и Г-1 /5 Т \g(t)\dt (которые, в свою оче редь, являются оценками функций концентрации распределений F и G соответственно-см. [10, гл. 2, § 1, лемма 3]) не даст хорошего резуль тата. Действительно, пусть G-закон Пуассона с параметром А > 0. Тогда, с одной стороны, sup (G(x + Г)-G(x)) < (||) 2 ^ f Ш\ dt (см. [10, гл. 2, §1, лемма 3]), а с другой стороны, так как для рас пределения G масса, сосредоточенная в нуле, равна е~х, то при любом Т> 0 sup (G(x-fT)-G(x)) ^е _ А. X Это показывает, что в приведенном нами примере с помощью форму лы (2) мы по близости характеристических функций ничего не сможем сказать о близости соответствующих распределений F и G. Далее, для общего случая формула обращения приведена В. М. Золо таревым в работе [6] (см. [6, теорема 2], см. также [7]). Но и в формули ровке теоремы, и в ее доказательстве допущены пробелы (они относятся к случаю, когда F и G имеют разрывы, но хотя бы одна из них, скажем, F не является чисто разрывной). Укажем на некоторые из них. При этом будем пользоваться обозна чениями, введенными в [6]. Формулы обращения в случае разрывного предельного закона Алешкявичене А. К., Статулявичус В. А.

No abstract