В работе изучается дзета-функция моноида квадратичных вычетов по простому модулю $p$. Моноид квадратичных вычетов задается равенством $$ M_{p,2}=\left\{a\in\mathbb{N}\left| \left(\frac{a}{p}\right)=1\right.\right\}=\bigcup_{\nu=1}^{\frac{p-1}{2}}\left(r_\nu+p\mathbb{N}_0\right), $$где $\mathbb{N}_0=\{0\}\bigcup\mathbb{N}$ и $r_1<r_2<\ldots<r_{\frac{p-1}{2}}$ --- наименьшая положительная система квадратичных вычетов по модулю $p$, соответственно, $r_{\frac{p+1}{2}}<\ldots<r_{p-1}$ --- наименьшая положительная система квадратичных невычетов по модулю $p$.Множество простых элементов моноида $M_{p,2}$ состоит из множества простых чисел $\mathbb{P}_p^{(1)}$ и множества псевдопростых чисел $\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}$:$$P(M_{p,2})=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup\left(\mathbb{P}_p^{(2)}\cdot\mathbb{P}_p^{(2)}\right),$$где множество простых чисел $\mathbb{P}$ разбивается на два бесконечных подмножества $\mathbb{P}_p^{(\nu)}$ $(\nu=1,2)$ и одноэлементное множество $\{p\}$:$$\mathbb{P}=\mathbb{P}_p^{(1)}\bigcup\mathbb{P}_p^{(2)}\bigcup\{p\}, \quad \mathbb{P}_p^{(\nu)}=\left\{q\in\mathbb{P}\left|\left(\frac{q}{p}\right)=3-2\nu\right.\right\} \quad (\nu=1,2).$$Моноид $M_{p,2}$ разлагается в произведение двух взаимно простых моноидов $M_{p,2}=M_{p,2}^{(1)}\cdot$ $\cdot M_{p,2}^{(2)}$, где$$M_{p,2}^{(\nu)}=\left\{a\in M_{p,2}\left| a=\prod_{j=1}^{n}q_j^{\alpha_j}, \, q_j\in\mathbb{P}_p^{(\nu)} \right.\right\}, \quad \nu=1,2.$$В статье изучаются свойства функции распределения простых элементов $\pi_{M_{p,2}^{(\nu)}}(x)$ для $\nu=1,2$. Отметим, что $\pi_{M_{p,2}}(x)=\pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)+\pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)$. Показано, что $$ \pi_{M_{p,2}^{(1)}}(x)=\frac{1}{2}\li x+O\left(\frac{x^{\beta_1}}{2}+\frac{p-1}2xe^{-c_9\sqrt{\ln x}}\right) $$ и $$ \pi_{M_{p,2}^{(2)}}(x)=\frac{x\ln\ln x}{2\ln x}+O\left(\frac{x}{(1-\beta_1)\ln{x}}\right), $$ где $\beta_1$ --- исключительный ноль исключительного характера $\chi_1$ по модулю $p$.В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

В работе исследуется вопрос о числе простых элементов в моноиде $M_{q,1}$, состоящем из натуральных чисел сравнимых с 1 по модулю $q$. При $q>2$ моноид $M_{q,1}$ не является моноидом с однозначным разложением на простые элементы, так как наряду с обычными простыми числами, которые сравнимы с 1 по модулю $q$, в число простых элементов попадают псевдопростые числа, которые являются составными числами. Случай $q=3,4,6$ выделяется из числа других тем, что псевдопростые числа являются произведением двух простых чисел сравнимых с $q-1$ по модулю $q$. Таким образом, для множества простых элементов $P(M_{q,1})$ моноида $M_{q,1}$ в этом случае справедливо равенство $P(M_{q,1})=\mathbb{P}_{q,1}\bigcup(\mathbb{P}_{q,q-1}\cdot\mathbb{P}_{q,q-1})$.Так как моноид $M_{q,1}$ не имеет однозначности разложения на простые элементы, то дзета-функция$$\zeta(M_{q,1}|\alpha)=\sum_{n\in M_{q,1}}\frac{1}{n^\alpha}$$моноида $M_{q,1}$ не равна эйлерову произведению$$P(M_{q,1}|\alpha)=\prod_{r\in P(M_{q,1})}\left(1-\frac{1}{r^\alpha}\right)^{-1}.$$Поэтому, изучение распределения простых элементов в моноиде $M_{q,1}$ с помощью аналитических свойств логарифмической производной дзета-функции моноида не представляется возможным.Для полноты изложения сначала в работе изучается вопрос о количестве составных чисел, равных произведению двух простых чисел, с помощью неравенств Чебышёва, так как в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода первого мемуара П. Л. Чебышёва о простых числах.Затем с помощью неравенства Бруна-Титчмарша получена верхняя оценка количества составных чисел сравнимых с 1 по модулю $q$ и равных произведению двух простых чисел.Подход, применённый к общему случаю, затем переносится на случай простых элементов в моноидах $M_{q,1}$ при $q=3,4,6$.В заключение рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.