In the paper the Dirichlet problem for an anisotropic quasilinear elliptic equations of the second order is considered. The upper estimates for the generalized solution of this Dirichlet problem are received, the closeness is proved for the isotropic case.

Работа посвящена исследованию разрешимости задачи Дирихле для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с младшими членами и нестепенными нелинейностями $$ \sum_{\alpha=1}^{n}(a_{\alpha}(x,u,\nabla u))_{x_{\alpha}}-a_0(x,u,\nabla u)=0, \qquad x \in \Omega. $$ На каратеодориевы функции $a_{\alpha}(x,s_0,s)$, $\alpha=0,1,…,n$, накладывается условие совокупной монотонности по аргументам $s_0\in\mathbb{R}$, $s\in\mathbb{R}_n$. Ограничения на их рост по $s_0,s$ формулируются в терминах специального класса выпуклых функций. Изучаются условия существования решений задачи Дирихле в неограниченных областях $\Omega\subset \mathbb{R}_n$, $n\geqslant 2$. Доказана теорема существования без ограничений на поведение решений и рост исходных данных при $|x|\to \infty$. Библиография: 26 названий.

В работе выделен некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с младшими членами с нестепенными нелинейностями $$\sum\limits_{\alpha=1}^{n}(a_{\alpha}({\boldsymbol x},u,\nabla u))_{x_{\alpha}}-a_0({\boldsymbol x},u,\nabla u)=0.$$ На каратеодориевы функции, входящие в уравнение, накладывается условие совокупной монотонности. Ограничения на рост функций формулируются в терминах специального класса выпуклых функций. Эти требования обеспечивают ограниченность, коэрцитивность, монотонность и семинепрерывность соответствующего эллиптического оператора. Для рассматриваемых уравнений с нестепенными нелинейностями исследованы качественные свойства решений задачи Дирихле в неограниченных областях $\Omega\subset \mathbb{R}_n,\;n\geq 2$. Установлены существование и единственность обобщeнных решений в анизотропных пространствах Соболева-Орлича. Кроме того, для произвольных неограниченных областей обобщены теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича. Это позволило доказать глобальную ограниченность решений задачи Дирихле. Использована оригинальная геометрическая характеристика для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси. В терминах этой характеристики установлена экспоненциальная оценка скорости убывания на бесконечности решений рассматриваемой задачи с финитными данными.