No abstract

No abstract

Пусть $R$ - коммутативная комплексная алгебра и $\partial$ - $\mathbb{C}$-линейное дифференцирование в $R$ такое, что все его степени являются $R$-линейно независимыми. Пусть $R[\partial]$ - алгебра дифференциальных операторов с коэффициентами из $R$, а $Psd$ - ее расширение до алгебры псевдодифференциальных операторов. В алгебре $R[\partial]$ найдены приведенные дифференциальные операторы $\mathbf M_n$ порядка $n\ge 2$ без постоянного члена, удовлетворяющий системе уравнений Лакса, которая определяется лежащим в основе строгой иерархии КП разложением алгебры $Psd$ в прямую сумму двух алгебр Ли. Поскольку этот набор уравнений Лакса является аналогом такого разложения для $n$-й иерархии КдФ, он назван строгой $n$-й иерархией КдФ. Данная система имеет минимальную реализацию, и это позволяет показать, что она обладает свойствами однородности. Кроме того, показано, что система совместна, т. е. строго дифференциальные части операторов $M=(\mathbf M_n)^{1/n}$ удовлетворяют условиям нулевой кривизны, которые являются достаточными для вывода уравнений Лакса для $\mathbf M_n$ и, в частности, для доказательства того, что корень $n$-й степени $M$ из $\mathbf M_n$ есть решение строгой иерархии КП тогда и только тогда, когда $\mathbf M_n$ - решение строгой $n$-й иерархии КдФ. Охарактеризовано место решений строгой $n$-й иерархии КдФ среди ранее известных решений строгой иерархии КП.

В алгебре $Ps\Delta$ псевдоразностных операторов рассмотрены две деформации подалгебры Ли, натянутые на положительные степени обратимого постоянного псевдоразностного оператора $\Lambda_0$ первой степени. Первая деформация осуществляется в $Ps\Delta$ группой, соответствующей подалгебре Ли $Ps\Delta_{<0}$ элементов отрицательной степени, а вторая - группой, соответствующей подалгебре Ли $Ps\Delta_{\leq 0}$ элементов нулевой степени или ниже. Рассмотрены деформации, эволюции которых описываются совместными системами уравнений Лакса, заданных выбором зависящей от $\Lambda_0$ подалгебры Ли, дополняющей подалгебры Ли $Ps\Delta_{<0}$ и $Ps\Delta_{\le 0}$ соответственно. Это приводит к двум интегрируемым иерархиям, связанным с $\Lambda_0$. Иерархия более широкой деформации называется строгой версией первой иерархии из-за формы уравнений Лакса. Когда матрица $\Lambda_0$ отвечает сдвигу, иерархия, соответствующая простейшей деформации, известна как дискретная иерархия Кадомцева-Петвиашвили. Показано, что обе иерархии допускают представление нулевой кривизны, исследована разрешимость сопутствующих задач Коши.