Аннотация. В роботе найдены необходимые условия, которым должна удовлетворять простая замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре в пространстве Лобачевского. Так же найдены и описаны явно три класса простых замкнутых геодезических: 2-однородные, 3-однородные и (3,2)-однородные геодезические. В каждом классе существует ровно одна, с точностью до изометрии тетраэдра, геодезическая данного типа. Ключевые слова: простые замкнутые геодезические, правильный тетраэдр, пространство Лобачевского. MSC: 53С22, 52B10 Введение В 1905 году в связи с задачей трех тел А. Пуанкаре выдвинул гипотезу о существовании замкнутой геодезической без точек самопересечения на гладкой замкнутой выпуклой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. В 1917 году Дж. Биркгоф доказал, что на римановом многообразии произвольной размерности гомеоморфном сфере существует по крайней мере одна замкнутая геодезическая [1]. В 1929 году Л. Люстерник и Л. Шнирельман показали, что на двумерном римановом многообразии, гомеоморфном сфере, существуют по крайней мере три замкнутые несамопересекающиеся геодезические [2]. Однако, доказательство Люстерника и Шнирельмана было неполное. Позднее Д. В. Аносову и И. А. Тайманову удалось получить полное доказательство этой теоремы [3], [4]. Но их доказательство существенно использовало теорему Жордана для двумерной сферы, и поэтому не могло быть обобщено на многообразия большей размерности. В. Клингенберг обобщил эту теорему на компактное односвязное многообразие произвольной размерности, использовав несколько другой подход [5]. Интерес представляет рассмотреть геодезические на негладких поверхностях, в том числе на выпуклых многогранниках. В [7] рассматривался вопрос существования замкнутой геодезической без самопересечения на произвольном замкнутом arXiv:1801.07020v5 [math.MG] 14 Apr 2018 многограннике в евклидовом пространстве. В частности, на тетраэдре не существует замкнутой не самопересекающейся геодезической, если суммарная кривизна любых двух его вершин не равна 2π. Известно так же, что, если на многограннике в евклидовом пространстве существует хотя бы одна замкнутая геодезическая, то существует бесконечно много геодезических, пересекающих те же ребра в том же порядке. В. Ю. Протасов в своей работе [8] получил условие существования замкнутой геодезической без самопересечения на произвольном симплексе и оценку на их количество. Д. Фукс и К. Фукс дополнили и систематизировали результаты по замкнутым геодезическим на правильных многогранниках в трехмерном евклидовом пространстве [9], [10].Мы рассмотрели задачу нахождения замкнутых геодезических на правильном тетраэдре в пространстве Лобачевского. В евклидовом пространстве грани многогранника имеют нулевую гауссову кривизну и вся кривизна многогранника сосредоточена только в вершинах. В пространстве Лобачевского грани многогранника имеют отрицательную гауссову кривизну. Т.е. кривизна многогранника в пространстве Лобачевского определяется не только вершинами, но и гранями. Кроме того, если все правильные тетраэдры в евклидовом пространстве подобны, то в ...

Доказано, что на правильных тетраэдрах в сферическом пространстве существует конечное число простых замкнутых геодезических. Также для любой пары взаимно простых натуральных чисел $(p,q)$ найдены $\alpha_1$ и $\alpha_2$, зависящие от $p$ и $q$ и удовлетворяющие неравенству $\pi/3<\alpha_1<\alpha_2<2\pi/3$, такие, что на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha \in(\pi/3, \alpha_1)$ существует и единственная, с точностью до изометрии тетраэдра, простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ и на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha \in(\alpha_2, 2\pi/3)$ не существует простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$. Библиография: 19 названий.