О множествах больших тригонометрических суммДоказано существование нетривиальных решений уравнения r1 + r2 = r3 + r4, где r1, r2, r3, r4 принадлежат множеству R больших коэффициен-тов Фурье некоторого подмножества A из Z/N Z. Из этого утверждения следует, что множество R имеет сильные аддитивные свойства. Обсужда-ются обобщения и приложения полученных результатов.Библиография: 26 наименований.

A не содержит арифметических прогрессий длиной k}, где |A| -мощность множества A. В работе [2] П. Эрдеш и П. Туран высказали гипотезу, согласно которой в любом множестве положительной плотности найдется арифметиче-ская прогрессия заданной длины. Другими словами, они предположили, что для любого k 3Ясно, что из этого предположения вытекает теорема Ван дер Вардена. Простейший случай k = 3 гипотезы (1) был доказан К. Ф. Ротом в [3]. В сво-ей работе Рот, используя метод Харди-Литтлвуда, доказал неравенствоНаилучший, в настоящее время, результат об оценке сверху величины a 3 (N ) принадлежит Дж. Бургейну [4]. Он доказал, чтоДля произвольного k гипотеза (1)

No abstract

No abstract

Пусть G-произвольная абелева группа и A-любое конечное подмножество G. Множество A называется множеством с малой суммой, если для некоторого числа K выполнено |A + A| K|A|. Структурные свойства таких множеств изучались в работах Г. А. Фреймана, Ю. Билу, И. Ружи, М.-Ч. Чанг, Б. Грина и Т. Тао. В настоящей статье мы доказываем, что при некоторых ограничениях на K для любого множества с малой суммой найдется множество Λ, Λ ≪ε K log |A|, такое, что |A ∩ Λ| ≫ |A|/K 1/2+ε , где ε > 0. В отличие от результатов предшествующих авторов наша теорема нетривиальна даже для достаточно больших K. Например, в качестве K можно взять |A| η , где η > 0. Используемый нами метод доказательства совершенно элементарен. Библиография: 21 название.