В статье дается обзор современных результатов и приложений теории гомотопов. В работе введено понятие хорошо темперированного элемента ассоциативной алгебры и доказано, что категория представлений гомотопа, построенного с помощью хорошо темперированного элемента, является сердцевиной подходящим образом склеенной $t$-структуры. Посчитаны глобальная и хохшильдова размерность гомотопа в хорошо темперированном случае. Рассматривается случай гомотопа, построенного с помощью обобщенного оператора Лапласа группоида Пуанкаре графа. Показано, что такой гомотоп является фактором алгебры Темперли-Либа графа. Показано, что превратные пучки на проколотом диске и на двумерной сфере с двойной точкой отождествляются с представлениями соответствующего гомотопа. Также в статье обсуждается связь гомотопов с теорией ортогональных разложений алгебры Ли $\operatorname{sl}(n,\mathbb{C})$ в сумму картановских подалгебр, с классификацией конфигураций прямых и взаимно несмещенных базисов, с квантовыми протоколами и обобщенными адамаровыми матрицами. Библиография: 56 названий.

С помощью алгебраических и геометрических методов изучаются положительные операторнозначные меры. Доказано, что эти меры можно параметризовать с помощью некоторого пуассонова многообразия. Также показано, как получить симплектические листы данного пуассонова многообразия в терминах параметров этих мер. Кроме того, с помощью методов алгебраической геометрии изучено взаимодействие двух проекторнозначных мер.

No abstract