No abstract

Исходная задача, решаемая в работе, - представить классы вычетов по модулю $q$ в виде суммы трех слагаемых, два из которых принадлежат достаточно малым множествам $\mathcal A$ и $\mathcal B$, а третье имеет нечетное число простых делителей (так называемые иррегулярные числа С. Рамануджана) и лежит в промежутке вида $[q^{20r},q^{20r}+q^{16r}]$ при некотором заданном $r\ge 1$. Доказано, что такое представление всегда возможно при условии, что $|\mathcal A|\cdot |\mathcal B|\ge q(\log {q})^2$. Доказательство этого факта приводит к изучению тригонометрических полиномов, члены которых отвечают иррегулярным числам из короткого промежутка, и к отысканию достаточно точных оценок для таких полиномов. В частности, получена равномерная по $r$ оценка $\sum _{q^{20r}\le s\le q^{20r}+q^{16r}}e(sa/q)\ll q^{16r}(\log q)/\sqrt {\varphi (q)}$, в которой $s$ пробегает иррегулярные числа. Для этого развита специальная техника, основы которой были заложены Сельбергом и Мотохаши. Говоря кратко, характеристическая функция множества иррегулярных чисел выражается через семейство билинейных сумм подобно тому, как это делается в методе усиления, разработанном Иванцом и использующем псевдохарактеры (локальные модели). Техника, развитая в настоящей работе, также применима к суммам с функцией Мeбиуса, функцией Лиувилля и функцией Мангольдта (в последнем случае она немного усложняется). Тем не менее она позволяет получить явные оценки; например, в работе доказано, что $|\sum _{X<\ell \le 2X}\Lambda (\ell ) e(\ell a/q)|\le 1300 \sqrt {q} X/\varphi (q)$ при $250\le q\le X^{1/24}$ и любых $a$, взаимно простых с $q$. Получен также ряд других результатов.