Исследуется непрерывное течение жидкости и газа с замкнутыми вихревыми трубками. Рассмотрена циркуляция вдоль вихревой линии отношения плотности равнодействующей всех сил (приложенных к жидкости или газу) к плотности жидкости или газа. Она совпадает с циркуляцией по той же вихревой линии частной производной вектора скорости по времени и поэтому для стационарных течений равна нулю на любой замкнутой вихревой линии. Для нестационарных течений рассмотрены вихревые трубки, которые остаются замкнутыми по крайней мере в течение некоторого интервала времени. Обнаружена неизвестная ранее закономерность, состоящая в том, что в каждый фиксированный момент времени такая циркуляция одинакова для всех замкнутых вихревых линий, составляющих вихревую трубку. Указанная закономерность верна для течений сжимаемых и несжимаемых, вязких (различных реологий) и невязких жидкостей в поле потенциальных и непотенциальных внешних массовых сил. Поскольку эта закономерность не заложена в современные численные алгоритмы, она может использоваться для верификации численных расчетов нестационарных течений с замкнутыми вихревыми трубками путем проверки равенства циркуляций на разных замкнутых вихревых линиях (в одной трубке). Выражение для плотности распределения равнодействующей всех сил, приложенных к жидкости или газу, может содержать производные высших порядков. В то же время выражение для частной производной вектора скорости по времени и выражение для вектора завихренности, который необходим для построения вихревой линии, содержат только первые производные, что позволяет использовать обнаруженную закономерность для верификации расчетов, проведенных методами не только высокого, но и низкого порядков.

В рамках уравнений Навье-Стокса рассмотрены нестационарные осесимметричные течения однородной вязкой несжимаемой жидкости, в которых осевая и окружная скорости зависят только от радиуса и от времени, а радиальная скорость равна нулю. Показано, что скорость таких течений представляет собой сумму скоростей двух течений вязкой несжимаемой жидкости: осевого течения (радиальная и окружная скорости равны нулю) и окружного течения (радиальная и осевая скорости равны нулю). Осевое и окружное движения происходят независимо, не оказывая никакого взаимного влияния. Это позволяет расщеплять краевые задачи для рассматриваемого типа течений, содержащие три неизвестные функции (давление, окружная и осевая скорости), на две задачи, каждая из которых содержит две неизвестные функции (давление и одна из компонент скорости). При этом сумма давлений осевого и окружного течений будет давлением исходного течения. Обнаруженная возможность расщепления позволяет с использованием известных решений пополнить «запасы» осевых и окружных точных решений. Эти решения, в свою очередь, можно суммировать в различных комбинациях и в результате получать скорости и давления новых точных решений уравнений Навье-Стокса.