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Abstract

Onétudie dans ce texte des propriétés de l'ensemble des points rationnels de modèles sur des corps de nombres d'espaces localement symétriques hermitiens. Soit X un domaine symétrique hermitien, Γ un réseau arithmétique et S = Γ \X. Quand Γ est sans point fixe S admet une structure d'espace quasi-projectif lisse et S est une variété hyperbolique. On dispose par ailleurs de modèles de ces variétés sur des corps de nombres.Dans la première partie on explique les propriétés diophantiennes attendues des variétés quasi-projectives sur un corps de nombres dont une extensionà C est hyperbolique. Ceci précise une conjecture de Lang qui traite le cas des variétés projectives.Nous montrons dans la deuxième partie pour une large classe d'espaces localement symétriques hermitiens que l'on a bien la propriété diophantienne attendue. La preuve utilise la conjecture de Shafarevich prouvée par Faltings [6] et la classification dueà Deligne [5] des variétés de Shimura qui admettent un revêtementétale qui se plonge dans un espace de module de variétés abéliennes polarisées.Dans la dernière partie nous proposons une description conjecturale de l'ensemble des points P rationnels d'une variété de Shimura S tel que le groupe de Mumford-Tate de P n'est pas générique. Pour S = X 0 (1) × X 0 (1) la conjecture prévoit que pour un corps de nombres K il existe une constante N(K) telle que si N ≥ N(K) et E est une courbe elliptique sur K munie d'un sous-groupe cyclique d'ordre N ≥ N(K) défini sur K alors E està multiplication complexe. A l'aide des résultats connus sur la conjecture de Morita nous donnons pour une variété de Shimura (de type abélien) de la forme S = Γ \X pour Γ Downloaded from X(F ) des points F rationnels de X est fini. On a la conjecture de Lang [11].Conjecture 2.1. Une variété algébrique projective X sur un corps de nombres F est arithmétiquement hyperbolique si et seulement si pour un plongement σ de F dans C (et donc pour tout plongement) X σ est hyperbolique.

Orbifold K{ä}hler Groups related to arithmetic complex hyperbolic lattices

“…1.4. When writing this article we were not sure whether the statement about rational points was new, it is not a corollary of [Ull04]. In the final stage of the redaction, Y. Brunebarbe informed us that, if n = 2, it follows from [DimRam15, Theorem 0.3] a paper we were not aware of.…”

Infinitesimal Torelli for weighted complete intersections and certain Fano threefolds

“…8-9), and therefore (by Lang-Vojta's conjecture) should have only finitely many integral points, i.e., be "arithmetically hyperbolic"; see (Abramovich, 1997, § 0.3) or Javanpeykar (2020); Lang (1986). For evidence on Lang-Vojta's arithmetic conjectures, see (Autissier 2009(Autissier , 2011Corvaja and Zannier 2006;Faltings 1994;Levin 2009;Javanpeykar 2021;Ullmo 2004).…”