In this paper we develop a strategy and some technical tools for proving the André-Oort conjecture. We give lower bounds for the degrees of Galois orbits of geometric components of special subvarieties of Shimura varieties, assuming the Generalised Riemann Hypothesis. We proceed to show that sequences of special subvarieties whose Galois orbits have bounded degrees are equidistributed in a suitable sense.

Soient K un corps de nombres et K sa clôture algébrique. Soient X K une courbe propre, lisse, géométriquement connexe de genre g ≥ 2 sur K et J sa jacobienne. Soit D 0 un diviseur de degré 1 sur X et φ D 0 le plongement de X K dans J défini par D 0 . On note h N T (x) la hauteur de Néron-Tate d'un point x ∈ J(K). On montre dans ce texte l'énoncé suivant qui aété conjecturé par Bogomolov [2]:Notons que Raynaud [10] a prouvé que l'ensemble des points P ∈ X K (K) tels que φ D 0 (P ) est de torsion dans J est fini. Le théorème 1.1 généralise ceténoncé car la condition φ D 0 (P ) estéquivalenteà h N T (φ D 0 (P )) = 0. Le lecteur s'assurera que la démonstration du théorème 1.1 est indépendante de celle de Raynaud.Le théorème 1.1 aété obtenu dans de nombreux cas par Szpiro [12] et Zhang [15]. Soit Ω 1 X le faisceau des différentielles holomorphes sur X K . Quand X K a un modèle propre et lisse sur l'anneau des entiers O K de K, Szpiro [12] a montré le théorème 1.1 quand la classe [Ω 1 X − (2g − 2)D 0 ] n'est pas de torsion dans J ou la self intersection (ω Ar , ω Ar ) Ar du dualisant relatif au sens d'Arakelov est non nulle. Il a aussi expliqué comment unéquivalent du théorème de Nakai et Moishezon en théorie d'Arakelov permet de prouver que la non nullité de (ω Ar , ω Ar ) Ar estéquivalenteà l'énoncé du théorème 1.1.2 Préliminaire en théorie d'Arakelov

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