Positivite et Discretion des Points Algebriques des Courbes

Abstract

Soient K un corps de nombres et K sa clôture algébrique. Soient X K une courbe propre, lisse, géométriquement connexe de genre g ≥ 2 sur K et J sa jacobienne. Soit D 0 un diviseur de degré 1 sur X et φ D 0 le plongement de X K dans J défini par D 0 . On note h N T (x) la hauteur de Néron-Tate d'un point x ∈ J(K). On montre dans ce texte l'énoncé suivant qui aété conjecturé par Bogomolov [2]:Notons que Raynaud [10] a prouvé que l'ensemble des points P ∈ X K (K) tels que φ D 0 (P ) est de torsion dans J est fini. Le théorème 1.1 généralise ceténoncé car la condition φ D 0 (P ) estéquivalenteà h N T (φ D 0 (P )) = 0. Le lecteur s'assurera que la démonstration du théorème 1.1 est indépendante de celle de Raynaud.Le théorème 1.1 aété obtenu dans de nombreux cas par Szpiro [12] et Zhang [15]. Soit Ω 1 X le faisceau des différentielles holomorphes sur X K . Quand X K a un modèle propre et lisse sur l'anneau des entiers O K de K, Szpiro [12] a montré le théorème 1.1 quand la classe [Ω 1 X − (2g − 2)D 0 ] n'est pas de torsion dans J ou la self intersection (ω Ar , ω Ar ) Ar du dualisant relatif au sens d'Arakelov est non nulle. Il a aussi expliqué comment unéquivalent du théorème de Nakai et Moishezon en théorie d'Arakelov permet de prouver que la non nullité de (ω Ar , ω Ar ) Ar estéquivalenteà l'énoncé du théorème 1.1.2 Préliminaire en théorie d'Arakelov

O-minimality and the André-Oort conjecture for C^n

“…Notably, equidistribution played a key role in the proof by Ullmo [89] and Zhang [98] of the Bogomolov conjecture. In the other direction, Ratazzi-Ullmo [75] give a proof of MM using methods developed for AO.…”

The Dynamical Mordell–Lang Conjecture

“…Conjecture 1.1 fits into Zhang's far-reaching system of dynamical conjectures [Zha06]. Zhang's conjectures include dynamical analogues of the Manin-Mumford and Bogomolov conjectures for abelian varieties (now theorems of Raynaud [Ray83a,Ray83b], Ullmo [Ull98], and Zhang [Zha98]), as well as a conjecture about the Zariski density of orbits of points under fairly general maps from a projective variety to itself. This latter conjecture of Zhang takes the following form in the case of polynomial actions on A g .…”

A case of the dynamical Mordell–Lang conjecture

“…Conjecture 1.1 fits into Zhang's far-reaching system of dynamical conjectures [36]. Zhang's conjectures include dynamical analogues of the Manin-Mumford and Bogomolov conjectures for abelian varieties (now theorems of Raynaud [25,26], Ullmo [33], and Zhang [35]). We note that two of the authors found counterexamples to Zhang's original Dynamical Manin-Mumford and Bogomolov conjectures; a reformulation of those two conjectures will soon appear due to work of Ghioca, Tucker and Zhang [13].…”