A finite volume method to solve the Navier–Stokes equations for incompressible flows on unstructured meshes

Boivin, Sylvain; Cayre, Florent; Hérard, Jean-Marc

doi:10.1016/s1290-0729(00)00276-3

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“…9.1) if one chooses the intersection of orthogonal bisectors (IOB) of the triangle edges as control points associated to the triangles. For triangular meshes that do not meet this condition, the VF4 scheme was extended and numerically studied in [4]. In that case, the matrix of the resulting linear system is not necessarily definite positive.…”

Section: Numerical Resultsmentioning

confidence: 99%

A finite volume method for the Laplace equation on almost arbitrary two-dimensional grids

Domelevo¹,

Omnes²

2005

ESAIM: M2AN

177

251

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Abstract. We present a finite volume method based on the integration of the Laplace equation on both the cells of a primal almost arbitrary two-dimensional mesh and those of a dual mesh obtained by joining the centers of the cells of the primal mesh. The key ingredient is the definition of discrete gradient and divergence operators verifying a discrete Green formula. This method generalizes an existing finite volume method that requires "Voronoi-type" meshes. We show the equivalence of this finite volume method with a non-conforming finite element method with basis functions being P 1 on the cells, generally called "diamond-cells", of a third mesh. Under geometrical conditions on these diamondcells, we prove a first-order convergence both in the H 1 0 norm and in the L 2 norm. Superconvergence results are obtained on certain types of homothetically refined grids. Finally, numerical experiments confirm these results and also show second-order convergence in the L 2 norm on general grids. They also indicate that this method performs particularly well for the approximation of the gradient of the solution, and may be used on degenerating triangular grids. An example of application on nonconforming locally refined grids is given.Mathematics Subject Classification. 35J05, 35J25, 65N12, 65N15, 65N30.

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Section: Numerical Resultsmentioning

confidence: 99%

A finite volume method for the Laplace equation on almost arbitrary two-dimensional grids

Domelevo¹,

Omnes²

2005

ESAIM: M2AN

177

251

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“…On Delaunay triangular meshes, when the points x K are the circumcenters of the triangles K, the answer is believed to be true by some authors (see, e.g. [7]), based on numerical evidence. However, it has been shown in [34], by means of one-dimensional counter-examples, that second-order convergence in the discrete L 2 norm may be lost if the right-hand side of the Laplace equation does not belong to H 1 (Ω), or if the points x k associated to the one-dimensional segments K are not properly chosen.…”

Section: P Omnesmentioning

confidence: 98%

On the second-order convergence of a function reconstructed from finite volume approximations of the Laplace equation on Delaunay-Voronoi meshes

Omnes

2010

ESAIM: M2AN

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Abstract. Cell-centered and vertex-centered finite volume schemes for the Laplace equation with homogeneous Dirichlet boundary conditions are considered on a triangular mesh and on the Voronoi diagram associated to its vertices. A broken P 1 function is constructed from the solutions of both schemes. When the domain is two-dimensional polygonal convex, it is shown that this reconstruction converges with second-order accuracy towards the exact solution in the L 2 norm, under the sufficient condition that the right-hand side of the Laplace equation belongs to H 1 (Ω).Mathematics Subject Classification. 65N15, 65N30, 35J05.

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“…Ce schéma est inspiré des résultats théoriques publiés par Eymard et al [36] et d'une autre méthode de volumes finis classique 2D pour maillages non structurés proposée par Boivin et al ( [9], [10] et [19]). Les principales caractéristiques de ce nouveau schéma sont les suivantes : Cette thèse est organisée comme suit :…”

Section: Vj)(t>-av(f>}-nds = Fs(---)dv Jnunclassified

Résolution numérique d'écoulements 3 dimensions avec une nouvelle méthode de volumes finis pour maillages non structurés /

Perron¹

2001

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On discute d'une librairie d'objets et de programmes utilitaires qui ont été développés pour encourager l'utilisation et le développement du schéma par d'autres chercheurs.Des résultats numériques obtenus avec le schéma sont présentés : écoulement entre deux plans parallèles, écoulement engendré par le déplacement d'une paroi, écoulement de Boussinesq dans une cavité carrée, écoulement turbulent au-dessus d'une marche, écoule-ments autour d'un disque et d'un cylindre et écoulement thermique dans une conduite cylindrique. RemerciementsJe tiens à remercier M. Sylvain Boivin, mon directeur, pour m'avoir si bien dirigé. [vj) (t>-aV(f>}-ndS = fs(---)dV, Jn• 0. est un volume de contrôle arbitraire, dCl est sa surface ;• n est un vecteur unitaire normal à la surface d£l ;• p est la masse volumique qui n'est pas nécessairement constante ;• est une variable scalaire qui dépend de la position x_ et du temps t ;• / [up^] ' 21 dS est le flux convectif, y_ étant la vélocité ; Jan I -a V0-n dS est le flux diffusif, a étant un paramètre de diffusion telle la viscosité ; Les schémas de cette famille sont particulièrement bien convenir à l'adaptation de maillages, l'adaptation du maillage permettant dans de nombreux cas une amélioration significative de la qualité des solutions.Les méthodes de volumes finis de type éléments finis sont elles aussi très bien adaptées aux geometries complexes (voir [36], [6] Il n'existe donc pas de solution idéale au problème de la discrétisation du terme de convection. Les méthodes les plus stables sont théoriquement moins précises et souvent conçues en étudiant des problèmes mono-dimensionnels. Les méthodes les plus précises sont construites au détriment de la stabilité où ne peuvent être utilisées que pour certains problèmes en particulier. Finalement, on tient à préciser que la fausse diffusion causée par un écoulement oblique aux lignes directrices du maillage est atténuée lorsque le maillage est non structuré (on rappelle que ces maillages ne possèdent pas nécessairement de lignes directrices).À la lecture de ces résultats, il s'avère que la discrétisation spatiale par la méthode des volumes finis classiques soit la seule qui, théoriquement pour des maillages et des problèmes de convection-diffusion généraux, permette de construire un schéma qui respecte les propriétés suivantes :1. la conservation locale des flux ; 2. le respect du principe du maximum discret lorsqu'il s'applique.Ces deux propriétés sont particulièrement importantes pour la résolution de problèmes industriels où l'écoulement peut dépendre des quantités scalaires transportées. En effet, lorsque ces propriétés sont respectées, les quantités scalaires transportées par l'écoulement seront toujours en accord avec la physique du problème, et ce, sans qu'il soit nécessaire d'utiliser un maillage possédant un très grand nombre d'éléments. Malheureusement, pour utiliser une approximation constante par élément (méthodes de volumes finis classiques) lorsque la géométrie est complexe, une ou l'autre de ces techniques de constru...

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A finite volume method to solve the Navier–Stokes equations for incompressible flows on unstructured meshes

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A finite volume method for the Laplace equation on almost arbitrary two-dimensional grids

A finite volume method for the Laplace equation on almost arbitrary two-dimensional grids

On the second-order convergence of a function reconstructed from finite volume approximations of the Laplace equation on Delaunay-Voronoi meshes

Résolution numérique d'écoulements 3 dimensions avec une nouvelle méthode de volumes finis pour maillages non structurés /

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