A generalization of the Newton—Kantorovich theorem in a banach space

Abstract

Узагальнення теореми Ньютона-Канторовича в банаховому просторі Представлено членом-кореспондентом НАН України В.Я. Гутлянським Побудовано модифікацію класичного методу Ньютона-Канторовича в банаховому просторі. Для зна ходження розв'язку нелінійного операторного рівняння отримано ітераційну схему із квадратичною збіжністю. Продемонстровано, що побудована модифікація методу Ньютона-Канторовича застосовна для знаходження наближень до розв'язків нелінійних інтегральних та диференціально-алгебраїчних крайових задач. Ключові слова: модифікований метод Ньютона-Канторовича, банахів простір, нелінійне операторне рівняння, квадратична збіжність. A GENERALIZATION OF THE NEWTON-KANTOROVICH THEOREM IN A BANACH SPACE We present a modification of the Newton-Kantorovich method for nonlinear operator equations in a Banach space. We prove, under certain conditions, that this modified Newton-Kantorovich method has quadratic convergence. The modified Newton-Kantorovich method is used to solve some nonlinear integral and integral-differential equations.

On Approximate Solutions of Nonlinear Boundary-Value Problems by the Newton–Kantorovich Method

“…Since the remainder J 0 .z 0 .�; c ⇤ 0 / C x.�; "/; "/ of expansion of the functional J.z; "/ has a higher order of smallness with respect to x and " in the neighborhood of the points x D 0 and " D 0 than the first two terms of expansion (13), we get J 0 .z 0 .�; c ⇤ 0 /; 0/ D 0: We denote a constant .d ⇥ r/ matrix by (8), by virtue of the equality B 0 D J 0 ; this requirement is true. On the other hand, under condition (8), the approximation to the solution of problem ( 1), (2) obtained by using the iterative scheme (10) satisfies the corresponding approximate boundary conditions (2).…”

“…In order to determine the solution c."/ 2 R r of Eq. ( 4), we use the efficient Newton-Kantorovich method [12][13][14]. According to the accepted assumptions, the function F .c.…”

“…Unlike [16], to find the solution c."/ 2 R r of Eq. ( 4), we use a modification [13,14] of the traditional Newton-Kantorovich method [12]. Under the condition P…”

“…Equation ( 17) is traditionally called the equation for generating amplitudes of a 2⇡-periodic problem for the Duffing equation (14). Equation ( 17) with f .t/ D cos 3t has a unique simple…”

“…In a small neighborhood of the points x.t; "/ D 0 and " D 0; expansions (12) and (13) We seek the solution of the boundary-value problem ( 6), (7) We denote a constant .d ⇥ r/-dimensional matrix by 4) can be represented in the form…”