A historical review on nonholomic mechanics

Abstract

The aim of this paper is to present a short historical/scientific review on nonholonomic mechanics, with special emphasis on the latest developments. Indeed, the use of differential geometric tools has permitted in the last 25 years a fast and unsuspected advance in the theory, particularly in a better understanding of symmetries and reduction, Hamilton-Jacobi theory and integrability characterizations, and the construction of suitable geometric integrators. The last part of the paper is devoted to discuss the latest results in Hamilton-Jacobi theory for nonholonomic dynamics using our own approach.

A Geometric Approach to the Optimal Control of Nonholonomic Mechanical Systems

“…Although nonholonomic systems have been studied since the dawn of analytical mechanics, there has been some confusion over the correct formulation of the equations of motion (see e.g. [4], [10] and [29] for some of the history). Further it is only recently that their geometric formulation has been understood.…”

Historical and critical review of the development of nonholonomic mechanics: the classical period

“…Отметим, что в обзоре [57] особо выделена работа А. М. Вершика и Л. Д. Фаде-ева [99] (1972). По нашему мнению, это совершенно не справедливо: кроме хорошо известного еще классикам (например, Герцу) замечания о том, что в случае однородных связей сохраняется инте-грал энергии, эта статья не содержит ничего нового, и ее влияние было, скорее всего, решающим для развития формальных работ, но никак не для методов неголономной механики.…”

“…Одним из стимулов, побудивших нас к написанию данного обзора, является очерк [57], который посвящен не столько анализу исторического развития неголономной механики, сколько пропаганде одного подхода, развиваемого в основном в «Journal of Geometric Mechanics». Это направление геометрической механики (общие принципы которой представлены в [46]) является более абстрактным продолжением идей школы Дж.…”

“…Этим и объясняется, что авторы «общих теорий» часто далеко не продвигаются в решений новых задач, а их работы либо используют одни и те же элементарные системы, для которых и так все ясно, либо вводят новые абстрактные системы, которые абсолютно бесполезны. Так, введение вейнстейновских группоидов и алгеброидов в круг задач неголономной механики, предпри-нятое в [57], вряд ли вызовет оптимизм у инженеров и физиков.…”

On some aspects of the discretization of the suslov problem

“…The Lagrangian formulation of mechanical systems with nonholonomic constraints has been extensively studied in recent years (see [2,18] for a complete description and extensive bibliographies). In short, this kind of systems are characterized by so-called nonholonomic constraints, i.e.…”