A model to analyze the complexity of calculus knowledge at the beginning of University course

Abstract

Our research focuses on the difficulties students encounter with the learning of calculus, considering that they have to cope with many more mathematical objects but also with new ways of reasoning – not only algebraic calculation, but also the practice of approximation, and a scaffolding way of using functions, limits, derivative, integrals, etc. to justify their answers. The semiotic facet of new objects, and the way to manage it, is also a source of great difficulties. In this article we establish that the model we built (Bloch & Gibel, 2011) is adequate to describe the work of University students who have to deal with the resolution of exercises about parametric curves and differential equations, even if this context is not an adidactical situation. In 2018, L2 students of Pau University were asked to solve little problems about limits, integral calculations or recurrence questions. They revealed difficulties to organize their knowledge and conclude about a limit, for instance. We give some examples of these troubles. We conclude for the necessity to implement adequate devices to help students better understand these 'new mathematics'. Calculus, students' understanding of mathematical signs and objects, reasoning processes, parametric curves, differential equations

The transition from school to university in mathematics education research: new trends and ideas from a systematic literature review

“…Other important theoretical frameworks developed by French researchers and adopted in papers included in the INDRUM proceedings for studying STT are the theory of didactical situations (Brousseau, 2002) -that Bloch and Gibel (2016) used for developing a tool for modelling students' reasoning processes -and the Instrumental Approach (Rabardel, 2002), used by Gueudet and Pepin (2016) for theorising the use of technology in STT. The INDRUM papers pay great attention to cognitive and epistemological issues in STT; several of the authors' theoretical approaches fall 'under the umbrella term advanced mathematical thinking' (Hochmuth et al, 2021, p. 195) and are often situated within APOS (action-process-object-schema) theory (Dubinsky, 1991).…”

Research situations for accessing mathematical concepts at university entrance

“…des connaissances et des savoirs qu'il convient de mobiliser pour répondre à la situation de recherche dévolue par l'enseignant ; -du cadre (numérique, géométrique, algébrique, graphique…) qui est le plus adéquat pour répondre à la question posée ; -du mode de raisonnement qu'il faut mobiliser (inductif, déductif, abductif 8 ) et de la forme de raisonnement associée : raisonnement par l'absurde, raisonnement par récurrence, raisonnement « direct » ou par contraposée pour élaborer la solution ; il faut également maîtriser les implications et équivalences, en étant conscient des démonstrations à faire ; -de l'interprétation et de l'usage des signes mathématiques (Bloch et Gibel, 2019), signes dont le niveau de complexité est levé, par exemple les quantificateurs : ceux-ci sont très peu utilisés au secondaire sauf dans des formulations langagières, basées le plus souvent sur des écritures littérales précisément jusqu'en Terminale ; en conséquence les étudiants ne maîtrisent pas leur usage, et -comme nous l'avons fréquemment observé -sont très souvent en difficulté lorsqu'ils doivent les relier au type de raisonnement requis.…”

“…Les nombreuses études menées en didactique sur la transition secondaire-supérieur mettent en évidence un attendu spécifique en L1, à savoir une pratique maîtrisée du raisonnement au travers de ses différentes fonctions (Bloch et Gibel, 2016 ;Kidron & Tall, 2015 ;Pedemonte, 2007 ;Grenier-Boley et al, 2012 ;Borji & Martínez-Planell, 2019). Parmi les attendus du raisonnement on peut citer Gibel (2018) : organiser sa recherche, chercher, décider des savoirs à mobiliser, décider de la nature du raisonnement à utiliser pour conjecturer, expliquer, justifier, prouver, démontrer, valider, invalider, réfuter.…”