A new characterisation of idempotent states on finite and compact quantum groups

Abstract

We show that idempotent states on finite quantum groups correspond to pre-subgroups in the sense of Baaj, Blanchard, and Skandalis. It follows that the lattices formed by the idempotent states on a finite quantum group and by its coidalgebras are isomorphic. We show, furthermore, that these lattices are also isomorphic for compact quantum groups, if one restricts to expected coidalgebras. To cite this article: U. Franz, A. Skalski, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009). RésuméUne nouvelle caractérisation des états idempotents sur des groupes quantiques finis ou compacts. Nous donnons une caractérisation des états idempotents sur un groupe quantique fini en termes des pré-sous-groupes introduits par Baaj, Blanchard, et Skandalis, et en déduisons un isomorphisme entre le réseau des états idempotents et le réseau des sous-algèbres coïdéales d'un groupe quantique fini. Cet isomorphisme s'étend aux groupes quantiques compacts, si on le restreind au sous-algèbres coïdéales expectées. Pour citer cet article : U. Franz, A. Skalski, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009). Kawada et Itô [8] ont montré que toute mesure idempotente sur un groupe compact est induite par la mesure de Haar d'un de ses sous-groupes compacts, voir aussi [6]. Depuis Pal [11] nous savons que l'analogue de ce théorème pour les groupes quantiques est fausse. Recemment nous avons donné de nouvelles examples d'états idempotents sur des groupes quantiques finis qui ne sont pas induits par des états de Haar de sous-groupes quantiques, voir [4]. Nous en avons également donné une caractérisation en termes de sous-hypergroupes quantiques.

Idempotent States and the Inner Linearity Property

“…However, in the general quantum case, this fundamental result does not hold [14]. We refer to the series of papers [9], [10], [11], [15] for more details on this question, and for the general theory of idempotent states.…”

“…The aim of the present paper is to develop an analytic point of view on these notions, by relating them to the theory of idempotent states, developed in [9], [10], [11], [15].…”

Kawada-Itô-Kelley theorem for quantum semigroups

“…This is part of the proof of the following proposition which extends to quantum semigroups with weak cancellation [29, Lemma 2.5] earlier proved for compact quantum groups in [10]. Our conventions are slightly different and the proof of [10, Lemma 3.1] is only available in the extended electronic version of that paper [11]. We have therefore decided to include most of the steps in our slightly more general version.…”

Compact quantum subgroups and left invariant C⁎-subalgebras of locally compact quantum groups

“…Co-ideals and compact quantum subgroups are also related to idempotent states. Franz and Skalski [9] studied these relations recently for co-amenable compact quantum groups. Finally, already Enock [6] gave a version of the Takesaki-Tatsuuma duality for von Neumann algebraic quantum groups.…”