A Short Survey on Arithmetic Transforms and the Arithmetic Hartley Transform

Abstract

Arithmetic complexity has a main role in the performance of algorithms for spectrum evaluation. Arithmetic transform theory offers a method for computing trigonometrical transforms with minimal number of multiplications. In this paper, the proposed algorithms for the arithmetic Fourier transform are surveyed. A new arithmetic transform for computing the discrete Hartley transform is introduced: the Arithmetic Hartley transform. The interpolation process is shown to be the key element of the arithmetic transform theory.

A Matrix Laurent Series-based Fast Fourier Transform for Blocklengths N≡4 (mod 8)

“…The arithmetic complexity (flops) of this FFT is currently under investigation. Albeit there exists scores of different and smart techniques for spectrum analysis, including the arithmetic approach [28,29] or wavelet transforms [30], which are among the best choices, the FFTs still is an extremely widespread technique. The FFT presented here is also easy to implement using DSP or low-cost high-speed Integrated Circuits.…”

Um Algoritmo Aritmético para Análise Espectral Não-Uniforme

“…Posteriormente, o procedimento proposto por Bruns recebeu o nome de transformada aritmética de Fourier (AFT), técnica que foi redescoberta e revisitada em diversos outros trabalhos. Dentre as diferentes versões da AFT [8], a mais eficiente em termos de complexidade computacional é a proposta em [4]. Esse algoritmo, chamado AFT simplificada, é resumido na definição e no teorema que seguem.…”

“…Em [8], técnicas para interpolação em transformadas aritméticas são propostas. Entre elas, destaca-se a de interpolação ideal, que permite obter o valor exato do sinal no respectivo instante de tempo discreto não-inteiro.…”

Decodificação de Sinais DTMF via Transformada Aritmética de Fourier

“…Em 1903, H. Bruns [1] desenvolveu um método para o cálculo dos coeficientes da Série de Fourier de um sinal usando a fórmula de inversão de Möbius. Nesta técnica, posteriormente denominada Transformada Aritmética de Fourier (AFT) [2], há multiplicações apenas por {-1, 0, 1} e possíveis fatores de escalonamento. Em 1988, Tufts e Sadasiv [3] "redescobriram" um algoritmo parecido com o original de Bruns e o introduziram na Engenharia.…”