A solution to the L space problem

Abstract

This paper is dedicated to Stevo Todorcevic for teaching me how to traverse ω 1and for his inspirational [23].

Rectangular square-bracket operation for successor of regular cardinals

“…Recall that λ → [λ] 2 κ asserts the existence of a function f : [λ] 2 → κ such that f "[X] 2 = κ for all X ∈ [λ] λ . Recall also that λ → [λ; λ] 2 κ asserts the existence of a function f :…”

“…In [4], Shelah proved that this relation holds for all regular λ > 2 ℵ 0 , and later in [5], improved this to all regular λ > ℵ 1 . Then, in [6], Shelah handled the case λ = ℵ 1 , and finally, in [2], Moore established the missing case λ = ℵ 0 . It was unknown whether there exists a uniform proof that handles all successors of regulars (or even just λ + for λ ∈ {ℵ 0 , ℵ 1 , first inaccessible}), and in particular, whether and how Moore's technique generalizes to higher cardinals.…”

“…In this paper, we provide such a uniform proof. This is established by combining the analysis [2] of oscillations over the lower trace, together with the analysis [7] of the upper trace function. More specifically, we show that the ρ 1 -function on λ + oscillates on the lower traces much the same way it does on ω 1 (regardless of the value of λ <λ ), giving us a function o : [λ + ] 2 → ω whose composition with the upper trace function tr :…”

A influência dos subespaços discretos sobre os espaços topológicos

“…O problema da existência de um L-espaço em ZFC ficou em aberto por muitos anos. Mesmo hoje, após a resolução em [25], basicamente temos umúnico exemplo. Assim, seja M o espaço de Tychonoff construído por Justin Moore em [25].É sabido que, se Xé um L-espaço, então ele possui um subespaço separadò a esquerda de ordem tipo ω 1 (veja, por exemplo, [31]).…”

“…Além dos exemplos assumindo-se a existência de umaárvore de Suslin, mostraremos alguns exemplos a partir de um L-espaço. Comoé possível se obter tal espaço em ZFC ( [25]), garantimos tais resultados sem qualquer hipótese adicional. Um dos resultados que obtivemosé que "ser σ-compacto nãoé discretamente reflexiva", respondendo uma pergunta de [1].…”