A substitution theorem for graceful trees and its applications

Mavronicolas, Marios; Michael, Loizos

doi:10.1016/j.disc.2008.10.006

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“…У 2008 р. у [17] розширено деякі результати [16] введенням поняття граціозно сумісних дерев та доведенням так званої теореми підстановок.…”

Section: розширені гірляндова побудова -побудова та побудова приєднunclassified

“…Расширенные гирляндное построение, -построение и построение присоединением В 2008 г.в [17] расширены некоторые результаты [16] введением понятия грациозно совместимых деревьев и доказательством так называемой теоремы подстановок.…”

Section: построение присоединениемunclassified

“…Расширенные гирляндное построение, -построение и построение присоединением выполняются аналогично, но вместо копий одного грациозного дерева используются деревья из некоторого семейства грациозно совместимых деревьев. В [17] Аргументы против гипотезы и заключение. Оба описанные подхода к изучению гипотезы о грациозности деревьев до сих пор давали лишь подтверждения гипотезы.…”

Section: рис 15unclassified

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Graceful Trees: the State of Arts and the Prospects

Petreniuk¹

2016

Upr. sist. maš.

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Д.А. Петренюк Граціозні дерева. Аналіз проблеми та перспективи Предложен анализ результатов относительно гипотезы о грациозности деревьев. Рассмотрены два подхода к вопросу истинности гипотезы о данных деревьях, основные классы грациозных деревьев, способы получения больших деревьев из меньших, а также результаты компьютерных вычислений о грациозности деревьев. Приведены некоторые аргументы против гипотезы о грациозности деревьев. Запропоновано аналіз результатів щодо гіпотези про граціозність дерев. Розглянуто два підходи до питання правдивості гіпотези про дані дерева, описано основні класи таких дерев, способи отримання більших дерев з менших, а також результати комп'ютерних обчислень стосовно граціозності дерев. Подано деякі аргументи проти гіпотези про граціозність дерев.

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Section: розширені гірляндова побудова -побудова та побудова приєднunclassified

Section: построение присоединениемunclassified

Section: рис 15unclassified

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Graceful Trees: the State of Arts and the Prospects

Petreniuk¹

2016

Upr. sist. maš.

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“…A graph G is said to be a vertex amalgamation of G 1 and G 2 if it is obtained by identifying a vertex of G 1 with a vertex of G 2 . Vertex amalgamation is a widely used operation, which is the base of several of the techniques employed to build new graceful and/or α-graphs starting with two graphs that admit this type of labeling, see for example [2], [10], [13], and [19].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Alpha graphs with different pendent paths

Barrientos¹

2020

EJGTA

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Graceful labelings are an effective tool to find cyclic decompositions of complete graphs and complete bipartite graphs. The strongest kind of graceful labeling, the α-labeling, is in the center of the research field of graph labelings, the existence of an α-labeling of a graph implies the existence of several, apparently non-related, other labelings for that graph. Furthermore, graphs with α-labelings can be combined to form new graphs that also admit this type of labeling. The standard way to combine these graphs is to identify every vertex of a base graph with a vertex of another graph. These methods have in common that all the graphs involved, except perhaps the base, have the same size. In this work, we do something different, we prove the existence of an α-labeling of a tree obtained by attaching paths of different lengths to the vertices of a base path, in such a way that the lengths of the pendent paths form an arithmetic sequence with difference one, where consecutive vertices of the base path are identified with paths which lengths are consecutive elements of the sequence. These α-trees are combined in several ways to generate new families of α-trees. We also prove that these trees can be used to create unicyclic graphs with an α-labeling. In addition, we show that the pendent paths can be substituted by equivalent α-trees to produce new α-trees, obtaining in this manner a quite robust category of α-trees.

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“…In Theorem 2.10 and Lemma 2.11, we saw that it is possible to expand a graceful tree by adding new leaves to the vertex with label 0 and also that, by identifying the 0-labelled vertices of two gracefully labelled trees, we obtain a graceful tree. In fact, many techniques were proposed aiming at generating new families of graceful trees through some kind of product or identification of two trees on specific vertices [67,68,84,108,116]. The following theorem presents one of the earliest techniques, proposed by Stanton and Zarnke [108].…”

Section: Early Results and Constructionsmentioning

confidence: 99%

Graceful labellings and neighbour-distinguishing labellings of graphs

Luiz¹

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Três problemas de rotulação em grafos são investigados nesta tese: a Conjetura das Árvores Graciosas, a Conjetura 1,2,3 e a Conjetura 1,2.Uma rotulação graciosa de um grafo simples G = (V (G), E(G)) é uma função injetoraA Conjetura das Árvores Graciosas, proposta por Rosa e Kotzig em 1967, afirma que toda árvore possui uma rotulação graciosa. Um problema relacionado à Conjetura das Árvores Graciosas consiste em determinar se, para todo vértice v de uma árvore T , existe uma rotulação graciosa de T que atribui o rótulo 0 a v. Árvores com tal propriedade são denominadas 0-rotativas. Nesta tese, apresentamos famílias infinitas de caterpillars 0rotativos. Nossos resultados reforçam a conjetura de que todo caterpillar com diâmetro pelo menos cinco é 0-rotativo.Também investigamos uma rotulação graciosa mais restrita, chamada rotulação-α. Uma rotulação graciosa f de G é uma rotulação-α se existir um inteiro k,Nesta tese, apresentamos duas famílias de lobsters com grau máximo três que possuem rotulaçõesα. Nossos resultados contribuem para uma caracterização de todos os lobsters com grau máximo três que possuem rotulações-α.Na segunda parte desta tese, investigamos generalizações da Conjetura 1,2,3 e da Conjetura 1,2. Dado um grafo simples G = (V (G), E(G)) e L ⊂ R, dizemos que π : E(G) → L é uma L-rotulação de arestas de G e dizemos que π : V (G)∪E(G) → L é uma L-rotulação total de G. Para todo v ∈ V (G), a cor de v é definida como C π (v) = uv∈E(G) π(uv), se π for uma L-rotulação de arestas de G, ou C π (v) = π(v) + uv∈E(G) π(uv), se π for uma Lrotulação total de G. O par (π, C π ) é uma L-rotulação de arestas semiforte (L-rotulação total semiforte) se π for uma rotulação de arestas (rotulação total) e C π (u) = C π (v), para toda aresta uv ∈ E(G). A Conjetura 1,2,3, proposta por Karónski et al. em 2004, afirma que todo grafo simples e conexo com pelo menos três vértices possui uma {1, 2, 3}rotulação de arestas semiforte. A Conjetura 1,2, proposta por Przybyło e Woźniak em 2010, afirma que todo grafo simples possui uma {1, 2}-rotulação total semiforte.Sejam a, b, c três reais distintos. Nesta tese, nós investigamos {a, b, c}-rotulações de arestas semifortes e {a, b}-rotulações totais semifortes para cinco famílias de grafos: as potências de caminho, as potências de ciclo, os grafos split, os grafos cobipartidos regulares e os grafos multipartidos completos. Provamos que essas famílias possuem tais rotulações para alguns valores reais a, b, c. Como corolário de nossos resultados, obtemos que a Conjetura 1,2,3 e a Conjetura 1,2 são verdadeiras para essas famílias. Além disso, também mostramos que nossos resultados em rotulações de arestas semifortes implicam resultados similares para outro problema de rotulação de arestas relacionado.

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A substitution theorem for graceful trees and its applications

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Graceful Trees: the State of Arts and the Prospects

Graceful Trees: the State of Arts and the Prospects

Alpha graphs with different pendent paths

Graceful labellings and neighbour-distinguishing labellings of graphs

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