A systematic approach to matrix forms of the Pascal triangle: The twelve triangular matrix forms and relations

“…. , k l F (l, l)), (6) becomes nL = v, where L = (l d,a ) is a Pascal matrix: l d,a = d a [26]. Since L −1 = (m a,d ) has m a,d = (−1) d+a a d , we obtain the formula for P D (M, k; l, d).…”

Section: Partial Decodingmentioning

confidence: 96%

A Matroid Framework for Noncoherent Random Network Communications

Gadouleau

Goupil

2011

IEEE Trans. Inform. Theory

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Models for noncoherent error control in random linear network coding (RLNC) and store and forward (SAF) have been recently proposed. In this paper, we model different types of random network communications as the transmission of flats of matroids. This novel framework encompasses RLNC and SAF and allows us to introduce a novel protocol, referred to as random affine network coding (RANC), based on affine combinations of packets. Although the models previously proposed for RLNC and SAF only consider error control, using our framework, we first evaluate and compare the performance of different network protocols in the error-free case. We define and determine the rate, average delay, and throughput of such protocols, and we also investigate the possibilities of partial decoding before the entire message is received. We thus show that RANC outperforms RLNC in terms of data rate and throughput thanks to a more efficient encoding of messages into packets. Second, we model the possible alterations of a message by the network as an operator channel, which generalizes the channels proposed for RLNC and SAF. Error control is thus reduced to a coding-theoretic problem on flats of a matroid, where two distinct metrics can be used for error correction. We study the maximum cardinality of codes on flats in general, and codes for error correction in RANC in particular. We finally design a class of nearly optimal codes for RANC based on rank metric codes for which we propose a low-complexity decoding algorithm. The gain of RANC over RLNC is thus preserved with no additional cost in terms of complexity.

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“…Muitos algoritmos eficientes têm sido desenvolvidos visando reduzir esta complexidade aritmética [3]. A utilização do triângulo de Pascal [2] na definição da TNP permite que sejam exploradas relações bem conhecidas, o que leva a implementações eficientes da mesma [12]. Em formato matricial, tem-se V = P N v, em que os elementos de…”

Section: Preliminaresunclassified

Novas Relações na Matriz de Transformação da Transformada Numérica de Pascal

Paschoal¹,

Souza²,

Oliveira³

2018

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. Neste artigo, a matriz de transformação da transformada numérica de Pascal (TNP)é investigada e novas relações baseadas na decomposição desta matriz, por meio do produto de Kronecker de duas matrizes de Pascal, são propostas com aplicações na implementação da TNP.Palavras-chave. Transformada numérica de Pascal, triângulo de Pascal modular, corpos finitos. PreliminaresUma das principais razões de se pesquisar transformadas numéricasé o fato das mesmas não apresentarem o chamado erro de arredondamento ou truncagem, uma vez que toda a aritmética se efetua em um corpo finito. Recentemente foi introduzida a transformada numérica de Pascal (TNP) [11], definida sobre o corpo finito GF (p) e baseada no triângulo de Pascal modular. Esta transformada apresenta o interessante aspecto de que seu comprimento e a característica do corpo são independentes, o que não acontece nas demais transformadas numéricas conhecidas na literatura [3], [5]. Neste cenário, Uma questão relevante, de um modo geral,é a complexidade aritmética (entendida aqui como o número de multiplicações e adições) necessária ao cálculo da transformada. Muitos algoritmos eficientes têm sido desenvolvidos visando reduzir esta complexidade aritmética [3]. A utilização do triângulo de Pascal [2] na definição da TNP permite que sejam exploradas relações bem conhecidas, o que leva a implementações eficientes da mesma [12].

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A systematic approach to matrix forms of the Pascal triangle: The twelve triangular matrix forms and relations

Cited by 9 publications

References 15 publications

On some results concerning generalized arithmetic triangles

On some results concerning generalized arithmetic triangles

A Matroid Framework for Noncoherent Random Network Communications

Novas Relações na Matriz de Transformação da Transformada Numérica de Pascal

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