Abelian class field theory of arithmetic schemes

Raskind, Wayne

doi:10.1090/pspum/058.1/1327282

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“…[4], [16], [22], [23]) e Âtudie le groupe une extension ®nie de Q p , et soit X une varie Âte Â propre, lisse, ge Âome Âtriquement inte Ágre de Â®nie sur k. La the Âorie des corps de classes pour X, introduite dans les travaux de Bloch, Kato et Saito, (cf.…”

Section: Introductionunclassified

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Sur la théorie des corps de classes pour les variétés sur les corps p-adiques

Szamuely¹

2000

Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik (Crelles Journal)

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Let k be a p-adic ®eld. Consider a smooth, proper, geometrically integral k-variety X. In this paper, we study the reciprocity map f X X SK 1 X 3 p ab 1 X introduced by S. Saito and prove that, assuming the Bloch-Kato conjecture in degree 3 for a prime l Q p (which is known for l 2), its kernel is uniquely l-divisible for surfaces for which the l-adic cohomology group H 2 XY Q l vanishes (so in particular for those with potentially good reduction). In higher dimension, we derive the same conclusion from a special case of a conjecture by Kato for varieties with good reduction. We also obtain ®niteness results for the torsion part of the group SK 1 X . The proofs exploit Voevodsky's motivic cohomology theory to which we furnish some complements in an appendix. In a second appendix, J.-L.Colliot-The Âle Áne shows that the kernel of f X does indeed contain a huge uniquely divisible subgroup already in the case of curves of genus at least one.Une construction de f X sera rappele Âe au de Âbut du chapitre suivant; pour l'instant, contentons-nous de quelques-unes de ses proprie Âte Âs.Quand X est un point, cette application de re Âciprocite Â n'est autre que celle de la the Âorie des corps de classes locale classique. Dans le cas ou Á X est une varie Âte Â avec bonne Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/16/15 7:58 PM c c c y CH 0 Y 3 r Y p ab 1 Y ou Á les morphismes verticaux sont fournis respectivement par les re Âsidus en K-the Âorie de Milnor et par la the Âorie de la spe Âcialisation du groupe fondamental, et r Y n'est autre que l'application de re Âciprocite Â de Lang [17] de Â®nie pour une varie Âte Â propre lisse sur un corps ®ni. Gra Ãce a Á des travaux de Lang, Kato, Saito, Colliot-The Âle Áne, Sansuc et Soule Â, on sait que r Y est une injection et son image est dense. Qu'en est-il pour f X ? Saito a montre Â (cf. [22], [23], [24]) que comme on l'attend, l'image est dense dans le cas de bonne re Âduction, et il a e Âgalement de Âtermine Â le conoyau dans le cas semistable. Par contre, le noyau est beaucoup moins connu et il n'est presque jamais trivial. En e¨et, conside Ârons l'application norme naturelle N X SK 1 X 3 k Â induit par les normes kx Â 3 k Â (le passage au quotient est possible d'apre Ás une loi de re Âciprocite Â de Weil, cf.[4], (1.7)) et notons, suivant Bloch, V X son noyau. Comme f X est fonctorielle pour N, la the Âorie des corps de classes locale nous apprend (cf. [22], Remark 4.3) que son noyau est contenu dans V X . D'autre part, Saito a prouve Â que f X À V X Á est toujours un groupe ®ni (cf. les re Âfe Ârences ci-dessus); ainsi, tout sous-groupe divisible de V X est ne Âcessairement contenu dans le noyau de f X . Or, comme le de Âmontre J.-L. Colliot-The Âle Áne dans l'appendice B, le groupe V X contient un Q-espace vectoriel de rang in®ni de Âja Á pour les courbes de genre au moins 1.Ainsi, le mieux que l'on puisse attendre est ce que le noyau de f X soit un groupe uniquement divisible. C'est pour son unique l-divisibilite Â (ou Á l Q p est un...

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Section: Introductionunclassified

“…[22], Remark 4.3) que son noyau est contenu dans V X . Consider a smooth, proper, geometrically integral k-variety X.…”

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Sur la théorie des corps de classes pour les variétés sur les corps p-adiques

Szamuely¹

2000

Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik (Crelles Journal)

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“…which is also nondegenerate, see [24,Theorem 1.11]. A straightforward tensoring of (2) with Q l /Z l gives a pairing…”

Section: Motivic Vision Of Representabilitymentioning

confidence: 99%

Motives and representability of algebraic cycles on threefolds over a field

Gorchinskiy

Guletskiĭ

2011

J. Algebraic Geom.

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Abstract. We study algebraic cycles on threefolds and finite-dimensionality of their motives with coefficients in Q. We decompose the motive of a non-singular projective threefold X with representable algebraic part of CH 0 (X) into Lefschetz motives and the Picard motive of a certain abelian variety, isogenous to the Griffiths' intermediate Jacobian J 2 (X) when the ground field is C. In particular, it implies motivic finite-dimensionality of Fano threefolds over a field. We also prove representability of zero-cycles on several classes of threefolds fibred by surfaces with algebraic H 2 . This gives another new examples of three-dimensional varieties whose motives are finite-dimensional.

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“…Дву-мерная теория полей классов была развита А. Н. Паршиным, К. Като и други-ми (см. обзор [6]). В локальном случае она сводится к описанию абелевой части группы Галуа двумерного локального поля.…”

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Неразветвленное Двумерное Соответствие Ленглендса

Осипов¹,

Osipov²

2013

Известия Российской академии наук. Серия математическая

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Описано неразветвленное соответствие Ленглендса для двумерных ло-кальных полей, построен категорный аналог неразветвленных представ-лений основной серии и изучены его свойста. Для этого используется конструкция некоторого центрального расширения, для которого (и дру-гих центральных расширений) доказаны некоммутативные законы взаим-ности (т. е. расщепление центральных расширений над некоторыми под-группами) для арифметических поверхностей и проективных поверхно-стей над конечным полем, связывающие центральные расширения, по-строенные локально и глобально.Библиография: 24 наименования.Ключевые слова: 2-векторные пространства, двумерные локаль-ные поля, высшие адели, обобщение программы Ленглендса, двумерные некоммутативные законы взаимности.

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Abelian class field theory of arithmetic schemes

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Неразветвленное Двумерное Соответствие Ленглендса

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