Sur la théorie des corps de classes pour les variétés sur les corps p-adiques

Abstract

Let k be a p-adic ®eld. Consider a smooth, proper, geometrically integral k-variety X. In this paper, we study the reciprocity map f X X SK 1 X 3 p ab 1 X introduced by S. Saito and prove that, assuming the Bloch-Kato conjecture in degree 3 for a prime l Q p (which is known for l 2), its kernel is uniquely l-divisible for surfaces for which the l-adic cohomology group H 2 XY Q l vanishes (so in particular for those with potentially good reduction). In higher dimension, we derive the same conclusion from a special case of a conjecture by Kato for varieties with good reduction. We also obtain ®niteness results for the torsion part of the group SK 1 X . The proofs exploit Voevodsky's motivic cohomology theory to which we furnish some complements in an appendix. In a second appendix, J.-L.Colliot-The Âle Áne shows that the kernel of f X does indeed contain a huge uniquely divisible subgroup already in the case of curves of genus at least one.Une construction de f X sera rappele Âe au de Âbut du chapitre suivant; pour l'instant, contentons-nous de quelques-unes de ses proprie Âte Âs.Quand X est un point, cette application de re Âciprocite  n'est autre que celle de la the Âorie des corps de classes locale classique. Dans le cas ou Á X est une varie Âte  avec bonne Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/16/15 7:58 PM c c c y CH 0 Y 3 r Y p ab 1 Y ou Á les morphismes verticaux sont fournis respectivement par les re Âsidus en K-the Âorie de Milnor et par la the Âorie de la spe Âcialisation du groupe fondamental, et r Y n'est autre que l'application de re Âciprocite  de Lang [17] de ®nie pour une varie Âte  propre lisse sur un corps ®ni. Gra Ãce a Á des travaux de Lang, Kato, Saito, Colliot-The Âle Áne, Sansuc et Soule Â, on sait que r Y est une injection et son image est dense. Qu'en est-il pour f X ? Saito a montre  (cf. [22], [23], [24]) que comme on l'attend, l'image est dense dans le cas de bonne re Âduction, et il a e Âgalement de Âtermine  le conoyau dans le cas semistable. Par contre, le noyau est beaucoup moins connu et il n'est presque jamais trivial. En e¨et, conside Ârons l'application norme naturelle N X SK 1 X 3 k  induit par les normes kx  3 k  (le passage au quotient est possible d'apre Ás une loi de re Âciprocite  de Weil, cf.[4], (1.7)) et notons, suivant Bloch, V X son noyau. Comme f X est fonctorielle pour N, la the Âorie des corps de classes locale nous apprend (cf. [22], Remark 4.3) que son noyau est contenu dans V X . D'autre part, Saito a prouve  que f X À V X Á est toujours un groupe ®ni (cf. les re Âfe Ârences ci-dessus); ainsi, tout sous-groupe divisible de V X est ne Âcessairement contenu dans le noyau de f X . Or, comme le de Âmontre J.-L. Colliot-The Âle Áne dans l'appendice B, le groupe V X contient un Q-espace vectoriel de rang in®ni de Âja Á pour les courbes de genre au moins 1.Ainsi, le mieux que l'on puisse attendre est ce que le noyau de f X soit un groupe uniquement divisible. C'est pour son unique l-divisibilite  (ou Á l Q p est un...

Class field theory for a product of curves over a local field

“…On the other hand, Sato [20] constructed a K 3 surface X with bad semi-stable reduction for which ρ X has non-divisible kernel. See also [25,26,28] for other results. In this paper, we show the following.…”

Non-divisible cycles on surfaces over local fields

“…(1.1)). In fact, under this assumption, the groups n SK 1 (X) (n ∈ N(L)) are finite by Szamuely [Sz2,5.2].…”

“…Example 3.6, see also [Sz2] for results in a different direction). On the other hand, the surface S belongs to case (2), because we have Ker( S ) = SK 1 (S ) Div and S /n is not injective for any even n > 1.…”

Abel-Jacobi mappings and finiteness of motivic cohomology groups

“…Remark 2.3. The paper [Sz] contains a proposition (attributed to Colliot-Thélène, see [Sz,Proposition 5.5]; assuming the Bloch-Kato conjecture in degree 3, cf. Conjecture 6.1): for a projective smooth surface X over a p-adic field, the group CH 3 (X, 1){l} is finite for l = p (resp., 1 = p), if the Albanese variety has potentially good reduction (resp., if H 1 (X, ᏻ X ) = 0).…”