An ‘Emergent Model’ for Rate of Change

Abstract

Does speed provide a 'model for' rate of change in other contexts? Does JavaMathWorlds (JMW), animated simulation software, assist in the development of the 'model for' rate of change? This project investigates the transference of understandings of rate gained in a motion context to a non-motion context. Students were 27 14-15 year old students at an Australian secondary school. The instructional sequence, utilising JMW, provided rich learning experiences of rate of change in the context of a moving elevator. This context connects to students' prior knowledge. The data taken from pre-and post-tests and student interviews revealed a wide variation in students' understanding of rate of change. The variation was mapped on a hypothetical learning trajectory and interpreted in the terms of the 'emergent models' theory (Gravemeijer, Math Think Learn 1(2): 1999) and illustrated by specific examples from the data. The results demonstrate that most students were able to use the 'model of' rate of change developed in a vertical motion context as a 'model for' rate of change in a horizontal motion context. A smaller majority of students were able to use their, often incomplete, 'model of' rate of change as a 'model for' reasoning about rate of change in a non-motion context.

İlköğretim Matematik Öğretmen Adaylarının Değişim Oranı ile İlgili Düşünme Biçimlerinin Bir Modelleme Etkinliği Bağlamında İncelenmesi

“…Son dönemde yapılan ulusal ve uluslararası çalışmalar öğretmen ve öğrencilerin değişim oranı kavramını yorumlanma ve anlamlandırılmada zorluklar yaşadıklarını göstermektedir (Bezuidenhout, 1998;Coe, 2007;Gökçek ve Açıkyıldız, 2016;Gravemeijer & Doorman, 1999;Herbert & Pierce, 2008, 2012Johnson, 2012;Orton, 1983;Taşar, 2010;Teuscher & Reys, 2012;White & Mitchelmore, 1996). Bu zorluklardan biri öğrencilerin (ortalama) değişim oranı kavramını farkların oranı olarak anlamlandıramamaları ve aritmetik ortalama kavramı ile karıştırmalarıdır (Bezuidenhout, 1998;White & Mitchelmore, 1996).…”

“…Bu durumun öğrencilerin değişim oranı kavramını yine kovaryasyonel olarak değişen iki değişkenin farklarının oranı olarak görememelerinden kaynaklandığı söylenebilir. Öğretmen ve öğrencilerde ortaya çıkan bir diğer zorluk ise değişim oranı kavramını sadece kinematik (hız-zaman) bağlamında görmüş olmaları ve başka bağlamlarda anlamlandıramamalarıdır (örn., Herbert & Pierce, 2008, 2012Wilhelm & Confrey, 2003;Zandieh & Knapp, 2006). Değişim oranı kavramıyla ilgili öğrenci ve öğretmen zorluklarının muhtemel kaynakları olarak kavramın ders kitaplarında ve öğretim programlarında yeterince vurgulanmaması (Bingölbali, 2008), kavramın kinematik gibi kısıtlı bağlamlarda sunuluyor olması (Gravemeijer & Doorman, 1999;Thompson, 1994b;Zandieh & Knapp, 2006) ve kovaryasyonel düşünme, eğim ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlarla ilgili bilgi eksikliği (Herbert & Pierce, 2008) gösteriliyor olmakla birlikte, ilgili alanyazında öğrenci ve öğretmenlerin değişim oranı kavramını nasıl algıladıkları ve kavramı anlamlandırmada yaşadıkları zorlukları muhtemel sebepleri ile birlikte daha farklı açılardan ortaya koyacak çalışmalara ihtiyaç duyulduğu da vurgulanmaktadır (örn., Ärleback, Doerr & O'Neil, 2013;Bezuidenhout, 1998;Herbert & Pierce, 2008).…”

“…Bu çalışmalardan bazıları (örn., Ärleback ve ark., 2013;Doerr & O'Neil, 2012;Doorman & Gravemeijer, 2009;Herbert & Pierce, 2008;Hoffkamp, 2011) değişim oranı kavramının kinematik dışında daha farklı bağlamlarda incelendiğinde öğrencilerin kavramsal anlamalarına olumlu katkı sağladığını göstermektedir. Doorman ve Gravemeijer (2009) ise bir öğretim deneyi çalışmasında bir gerçek hayat etkinliği kullanarak lise öğrencilerinin değişim, değişim oranı, hız ve bunun grafik gösterimi ile ilgili kavramsal gelişimini incelemiştir.…”

“…Türevin değişim oranı yorumu ile ilgili öğretim materyallerinde (ders kitabı, müfredat vb.) çoğunlukla hareket bağlamı kullanılmakta; hız ise değişim oranı kavramı için prototip olarak sunulmaktadır (Herbert & Pierce, 2008). Hareket bağlamı türev gibi temel analiz konularının tarihsel gelişiminde asıl çıkış noktası niteliği taşımakla birlikte, sadece bu bağlama bağımlı kalınması öğrencilerin değişim oranını farklı bağlamlarda anlamlandıramamasına sebep olmaktadır (Gravemeijer & Doorman, 1999;Herbert & Pierce, 2008;Yoon ve ark., 2010).…”

“…çoğunlukla hareket bağlamı kullanılmakta; hız ise değişim oranı kavramı için prototip olarak sunulmaktadır (Herbert & Pierce, 2008). Hareket bağlamı türev gibi temel analiz konularının tarihsel gelişiminde asıl çıkış noktası niteliği taşımakla birlikte, sadece bu bağlama bağımlı kalınması öğrencilerin değişim oranını farklı bağlamlarda anlamlandıramamasına sebep olmaktadır (Gravemeijer & Doorman, 1999;Herbert & Pierce, 2008;Yoon ve ark., 2010). Örneğin, suyla doldurulan bir depodaki su miktarına bağlı olarak su seviyesini/yüksekliğini gösteren bir grafik (bağımlı değişken yükseklik, bağımsız değişken hacim) üzerinde öğrenciler değişim oranının ne anlama geldiğini yorumlamakta zorlanmışlardır (Carlson ve ark., 2002).…”